ACTA
PUCIETATIS. SCIENTIARUM FENNICÆ.
TOMUS XV.
———— TEL AR 972 5 3— —————
HELSINGFORSIÆ. Ex officina typographica Societatis litterariae fennicae MDCCCLXXX VIII.
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(RRENO
TABLE
DES
ARTICLES CONTENUS DANS CE TOME.
Om en ny klass af transcendenta funktioner, hvilka äro nära beslägtade med Gammafunktionen. II. Af Hs. MELLIN . 3
Recherches sur l'équation de Kummer, par E HETS å isole
Beitrag zur Kenntniss der inneren Oe Geschlechtsorgane der Oypriden, von Osc. Norpgvist. Mit 6 Tafeln.
Ueber eine Modifikation der ae ON sts Mitthoflung, von er F. SUNDELL . TM Yu ptos
Icones selectae Hymenomy sp Fer niae inus into, Editae sub auspi- ciis Societatis Scientiarum Fennicae cura P. A. KARSTEN, Societatis membri. Fasciculus primus. Tab. I—IX
Spectralversuche, von A. F. SUNDELL
Statistisk undersökning af ställningen i Finska ee o ish [Se pillkassa den 1 Maj 1884. Af L. LrNDELÓF :
Revisio Synonymica Heteropterorum palæarcticorum quae deeper iu mes vetustiores (Linnaeus 1758 — Latreille 1806). — Synonymische Revision der von den älteren Autoren (Linné 1758 — Latreille 1806) beschriebenen Pa- laearktischen Heteropteren, von O. M. Reuter. I.
Ueber ein die flüchen kleinsten Flücheninhalts betreffendes Problem der VEU. tionsrechnung. Festschrift zum Jubelgeburtstage des Herrn Karl Weier- strass. Von H. A. SCHWARZ .
Anwendung der Theorie der Elliptischen een E eine He Munere eines Ellipsoids betreffende Aufgabe. Von E. R. NEOVIUS .
Transportables Barometer, von A. F. SuNDELL . SOS
Petrarca in der deutschen Dichtung. Von Dr. W. Konsens
Revisio Synonymica Heteropterorum palæarcticorum quae descripserunt PROS vetustiores (Linnaeus 1758 — Latreille 1806). — Synonymische Revision der von den ülteren Autoren (Linné 1758 — Laitreille 1806) beschriebenen Pa- laearktischen Heteropteren, von O. M. Reuter. IL.
A ce tome appartiennent 16 planches.
169.
181. 191.
443.
1567 9
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OM EN NY KLASS AF
TRANSCENDENTA FUNKTIONER
HVILKA ÄRO NÄRA BESLÄGTADE MED
GAMMAFUNKTIONEN.
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HJ. MELLIN.
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Om en ny klass af transcendenta funktioner, hvilka äro nära beslägtade med gammafunktionen.
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1. I fórsta delen af denna afhandling har jag om samtliga hela och po- sitiva potenser af gammafunktionen bevisat vissa satser, af hvilka de resultat, hvartill Prym kommit i sin uti Cerues Journaz, Bd. 82, publicerade afhand- ling Zur Theorie der Gammafunktion, kunna betraktas såsom helt speciela fall. Jag antydde tillika, att den derstädes använda metoden i allmänhet leder till målet, när det gäller att i enlighet med det MirtAG-LEFFLERSKA teoremet sönderdela en produkt eller en qvot af gammafunktioner uti summan af en partialbråksserie och en beständigt konvergerande potensserie, samt att metoden dessutom är af den beskaffenhet, att den i mycket omfattande fall för till be- sittning utaf en oändlig mängd af nya transcendenter och dessas karakteristiska egenskaper, hvilka utvisa att de nya funktionerna äro på det närmaste be- slägtade med gammafunktionen. Teorin för gammafunktionen blir sålunda be- tydligt utvidgad. Särskildt anmärkningsvärd är den formela lihket, som den- samma i vissa afseenden får med teorin för de lineära differentialeqvationerna. Den sist nämda omständigheten finner, såsom jag i en annan afhandling fram- deles skall uppvisa, en förklaring derigenom, att det verkligen också existerar ett nära, inre samband emellan vissa slag af lineära differentialeqvationer och sådana funktionaleqvationer, som uppträda inom gammafunktionens teori.
I denna andra del af afhandlingen skall jag nu i öfrigt uppvisa riktig- heten af dessa antydningar genom att tillämpa den i fråga varande metoden på en funktion af den allmänna formen
(1) Fazer = (z — a.) is (r—a)... = (x — a) D'(z—b5)T"(x—5b)...P*(x—6
der tu, ..., u,, v, ..., v, beteckna hela och positiva tal samt dy; ...a,, by, ...b,, e af æ oberoende qvantiteter, hvilka som helst. Det visar sig i det
4 Hs. MELLIN.
följande att de satser, hvilka åtminstone i vissa mycket allmänna fall kunna utvecklas angående en funktion af formen F(x) äro fullkomligt analoga med de satser, hvilka i första delen af denna afhandling blifvit bevisade om funktionen T" (a), och hvilka nu i sin tur komma att te sig såsom ytterst speciela fall af de först nämda.
Med tillhjelp af den bekanta likheten I'(z 4- 1)—2 T' (2) finner man att F(x) satisfierar likheten
(2) F (x -- 1) =" (a) F (o), deri Bela) oes =
(3) r(@)= et” 5 5 7 (x — by) (v—85) *...(x—b,) *
I uttrycket F(x) ha vi låtit ingå en faktor af formen e^^ icke blott der- för, att F(v) derigenom kommer att omfatta en större klass af funktioner än hvad fallet vore om denna faktor saknades, utan också af den orsak, att man kan uppställa en qvot af gammafunktioner, hvilken är allmännare än senare delen i F(x) och hvilken derför icke alltid kan bringas under den sist nämda formen, men väl under formen C F(r) genom att deri på ett lämpligt sätt för- foga öfver konstanterna C och «. Sätter man nemligen
qu (e x — a1) 1": (e, — a5) . .. 1 (a, um a)
F@)= rai (Bi s — 52) 1** (Ba -b;)... P" (Bo — 6)
der «, B, «, v beteckna hela och positiva tal samt a och b af x oberoende qvantiteter, hvika som helst, så satisfierar också f(x) en likhet af formen
f(x 1) 9 n (0) f(x)
der r, (w) betecknar en rationel funktion. Inom gammafunktionens teori, för hvilken likheter af denna form just äro utmärkande, bör derför också funk- tionen f(x) upptagas till studium, isynnerhet som den har företrädet att vara allmännare än senare delen i F(z). Det är dock lätt att uppvisa, hurusom f(x), likasom också hvarje funktion af formen e”” f(x), alltid kan bringas under form C F(z). Ty i stöd af den bekanta likheten
1-n
m) Om) ner (o (o ee)
der » utmärker ett positivt helt tal, är
Om en ny klass af transcendenta funktioner. 5 1^ 1—« Quse Dali 1 u 1 1 u 2x quu ug cy DC I Vires ee
(« & — a) — (9 x) GTI)... Im —).
Emedan hvarje faktor i täljaren och nämnaren af f(x) har samma form som första membrum i denna likhet, sà inses pà grund häraf omedelbart riktigheten af vårt påstående. Vi kunna således framdeles anse, att f(x) blifvit bragt under formen C F(x), samt öfver allt i det följande inskränka oss till ett stu- dium af funktioner under formen P (a).
Emellertid är C F(r) ännu icke den allmännaste qvot, i hvilken såväl
täljaren som nämnaren är en produkt utaf funktioner af formen e^" ^ och r(ax—b) och hviken satisfierar en likhet af formen (2). Vi skola derför angifva de skäl, som fóranledt oss att det oaktadt inskränka den följande un- dersökningen till funktioner af formen F'(x). Derförinnan framhålla vi, att det icke kan komma i fråga att till teorin för gammafunktionen räkna hvarje funktion, som satisfierar en likhet af formen (2). Ty är F (2) en funktion, som satisfierar likheten (2) samt p (x) hvilken funktion som helst med perioden 1, så är produkten q (x) F(x) en ny funktion, som också satisfierar samma likhet som F/(x).
Ett första skäl, hvarför vi endast göra funktioner af formen F(«) till föremål för de följande undersökningarne, är den omständigheten, att hvarje godtyckligt gifven rationel funktion r (x) motsvaras af en och, så när som på en faktor e^ * ** *) blott af en enda funktion af formen F (x), hvilken satis- fierar likheten (2), samt att hvarje annan funktion, som också satisfierar lik- heten (2) , kan sättas lika med en produkt, hvars ena faktor är F (x) och den andra en viss funktion med perioden 1. På grund af denna sats, om hvars rigtighet man mycket lätt öfvertygar sig, kunna de funktioner, som inbegripas under formen Z'(r), betraktas såsom de grundtyper, ur hvilka alla andra funk- tioner med egenskapen (2) erhållas genom multiplikation med periodiska funk- tioner. Dessa grundtyper böra naturligtvis i främsta rummet undersökas.
Det kan vidare strängt bevisas, att den allmännaste qvot, i hvilken såväl täljaren som nämnaren är en produkt utaf funktioner af formen e?* och FT (az—D), alltid då densamma satisfierar en likhet (2) kan bringas under formen
7" ! p , ee aged rte (eju) f (x) = (ee: = » ' II r"* (e — 22) lr" (a; — 2) o=1 o=1
+) Der k är ett helt tal; vi antaga naturligtvis, att tvenne af de r 4- s storheterna a, b uti F (x) icke äro lika.
6 HJ. MELLIN.
der we, vo, Mg, No, äro hela och positiva tal samt a5, be, Co, de, «, C af x oberoende qvantiteter. Denna qvot kan nu visserligen icke alltid bringas un- der formen F(x), men emedan det i hvarje fall finnes en funktion af formen F'(w), som också satisfierar samma likhet (2) som f(x), så kan man i stöd af föregående sats sätta 2 ^ — 7 p f (2) = (x) F (2), der (x) är en viss funktion med perioden 1. Sammanställes den bekanta likheten Dd RUES BASES sepan Sn E ge
med uttrycket för f(x), så finner man, att p(x) kan bringas under formen
No a (x — de)
qd kai [sin PR Q—1
p mg à Il sin x (x — ej) 0=1
der K är en konstant samt k ett helt tal, som är så valdt, att q (x) kommer att besitta perioden 1. Häraf framgår nu, att studiet af funktionen f(x) kan reduceras till undersökningen af en produkt, hvars ena faktor är af formen F(x) och den andra en periodisk funktion af formen q (x). Det skulle visser- ligen icke möta några svårigheter att genast lägga en funktion af formen f(x) till grund för undersökningen. Men emedan den i och med detsamma icke så litet skulle förlora i korthet och öfverskådlighet, så är detta ett nytt skäl att särskildt för sig undersöka funktionerna af formen F(x). Funktionerna p(x) F(x) kunna sedan också undersökas särskildt för sig, såvida en sådan undersökning har sitt intresse.
2. Likasom egenskapen 1'(æ+1)=x l'(x) hos gammafunktionen mot- svaras af egenskapen F(x + 1) =r (x) F(x) hos F(x), så motsvaras också egenskapen
lim Ur m) _ m-om-—1m*-
hos den den fórra*) af den liknande egenskap hos den senare funktionen. Sammanställer man nemligen likheten
*) Här likasom alltid i det följande är hvarje uttryck af formen m” definieradt genom serien
Om en ny klass af transcendenta funktioner. 1
u . T(x-a+m) lim = ne^ (m —1m 0 D med det analytiska uttrycket för F(x), så finner man att
lim F(v m) E m-coo (æ, m) "n
der qvantiteten (x, m) är definierad genom likheten
A ag! u Ha : u, | r--a | æ—a z—a.\r a (a 4- m) (m — 1m 2) (m — Im sl S (m — Im J )
celu. DAN ocu (m —1m* J) (m—1m *)...(m—-1m° s) :
(mm) = e
Sätter man för korthetens skuld
(4) U — us d ur. n, (5) v=7 dva... vs (6) =D Em 0, gc... vs bs — uu Ar — S 05 - ...— kr Gr,
så kan qvantiteten (2, m) skrifvas under den enkla formen
mM
«(x ) ^ a 4 x (7) (m, m) = e j +9 (m lm) m.
Följaktligen satisfierar F(x) systemet af funktionaleqvationerna
(F1) r(2) F (v) (8) À lim F(rtm)
m=00 (x, m)
Genom att upprepade gånger använda den förra af dessa likheter erhåller man
Hej F(x+m) Ace, m) (zm) | —r(z)r(zo-1)...r(zr-m 1) (am) r(ax)r(z-1)...r(ztm—1)
Användes också den senare likheten, så fås
2
2 2 I+zlym+ pin. . der 1g m utmärker den reela logaritmen af det positiva talet m. På grund
af denna definition är m^ alltid en entydigt bestämd qvantitet.
8 ME mn TN:
x (9) p li ii —1 m‘) m 7 (2) — lim —— 2
(2) mor (x)r(x+1)...r(c+m—1)
Högra membrum uti denna likhet har således ett entydigt bestämdt änd- ligt värde för hvarje värde pa v, som icke är ett oändlighetsställe för F (x). Emedan detta nya, entydiga uttryck för F(x) är en nödvändig följd ensamt af de tvenne likheterna (8), så inses tillika, att F(x) icke blott besitter utan också är entydigt bestämd genom egenskaperna (8). Denna sats är för öfrigt blott ett speciell fall af en allmännare sats, som framdeles skall bevisas. Gradtalet för täljaren i r (x) är uppenbarligen lika med u, samt gradtalet för nämnaren lika med r. Är u>v så är alltid lim (v, m) = ©. MER Är uc v så är alltid lim (x, m) = o. MER Är u=»v sà är lim (x, m) = © MR
om den reela delen af « är positiv, samt
?
lim (x, m) = o, MER om den reela delen af « är negativ. Är deremot den reela delen af « lika med noll, så är lim (x, m) = ©, MER om den reela delen af x är positiv, samt lim (a, m) = o, MER om densamma är negativ. Är också den reela delen af x lika med noll sà är [A e
(x, m) E
Med ledning häraf finner man, att den senare af likheterna (8) utvisar, huru funktionen F (x) förhåller sig, dà argumentet x närmar sig punkten co i po- sitiv riktning längs en rät linie som är parallel med den reela koordinataxeln.
Vi införa här slutligen följande beteckningar, till hvilka vi framdeles komma att hänvisa:
. Das 9 Om en ny klass af traknta funktioner.
(10) n, (2) = e" (x — a)" (s (© —a (11) 7, (x) = (x — bj) ^ (x — (2 — yy (12) Enc)
= ^ 3 A REA à àr = © Är Ar gradtalet u för r,(r) större än grad v für rı (x) så är M — 00 A
u-vsàürM-O0. Ar u=v sà Är
(13) M-
3. Det är fördelaktigt för de konstanterna a och b uti F(x) det vilk desamma, hvilka som helst, hvarken helt tal. I stöd af likheten I (x +1) 1 icke är af en mera inskrünkande natur htt F(x), om detsamma icke vore uppfyldt, kunde sättas lika med produktif en rationel funktion och en funk- tion af samma form som Z'(x) men dkonsterna a och b satisfiera det i fråga varande vilkoret, hvarigenom áteridersókningen vore reducerad till diskussionen af denna produkt.
Är det nyss omnämda vilkoret fasildt, så kunna tvenne af de r4-S funktionerna
nde undersökningarne att pälägga
att skilnaden emellan tvenne af ika med ett positivt eller negativt ’(x) finner man, att detta vilkor
qr Tv (acean) (TONAS 1° (x — b,).
i F(x) icke ha något gemensamt oändligtsställe. À
Emedan gammafunktionen icke har |got nollställe, sà kan dee heller nämnaren i F(z) blifva noll för nágotürde på z. Oändlighetsställena ak F'(x) äro således alla inbegripna ibland indlighetsställena för täljaren. Fak- torn. 1^5 (x — ag) i tüljaren af F(x) blioändligt stor alltid och endast dà z— a, är lika med noll eller ett negativhelt tal, d. v. s för v =
(14) de, du — Elan — 2, f»; a, n
och i hvart och ett af dessa ställen blir msamma oändligt stor af grasnpon E Emedan ingen af de öfriga faktorerna ifjaren och icke heller någon af fak- torerna i nämnaren af F(x) i följd af d nyss faststälda vilkoret kan bites oändligt stor i någon af punkterna (1), så blir också F (x) sjelf j| iat och ett af ställena (14) oändligt stor |f ordningen ug. Sätter man ? (14)
0—1, 2, ..., r, så erhällas samtliga ändlighetsställen für F 2 Dessa
10 ,MELLIN.
ställen dela sig således i r ariska serier, motsvarande de r faktorerna i i täljaren af F' (a).
Genom en betraktelse, hde den föregående, finner man, att dne ställena för F(x) utgöras af tema i de s aritmetiska serier, som erhållas genom att i
(15) ONE DAR RE
SUD D en AIT UN och A af ställena (15) blir F(x) noll af ordningen »,. j Nollställena fór täljaren r,uti den rationela funktionen r (x) uttgóras enligt $ 1 af (16) E ORUM
I dessa stüllen blir 7, (x) noll a resp. ordningarne Wan Pav TN Bun och ett af ställena (16) ingänsom första serm i en af de r aritmetiska serier, i hvilka oündlighetsstülleor F (x) dela sig.
Nollställena för nämnaren 7) uti r(x) utgöras åter af
(17) 7
I dessa ställen blir » (v) noll af resp. ordningarne »,, Here aan. Ava och ett ställena (17) ingär säsomrsta term i en af de s aritmetiska serier, i hvilka nollställena för F (©) desig. Jed
Då vi redan ifrån början agit, att tvenne af konstanterna a, b eig äro lika, så kunna täljare och näare i» (©) icke ha någon gemensam divisor.
ND
4. Uti första delen af dennafhandling har jag uppvisat, att funktionen F(&) = 1" (2), hvilken satisfierar cheten JA y x" F (x), ; à 5 : ändigt kan sönderdelas 1 summan af enpartialbråksserie P (x) och en beständig
itter egen- konvergerande potensserie Q, (2), ' hvilka På (x) bland annat besitter eg skapen
P (ER 1} «" 5 (x) — R, (æ),
5 3 : : icke är stórre än der À, (v) är en viss hel ration funktion, hvars gradtal icke u— 1. Häraf följde sedan, att Q,x) besitter egenskapen
2, e li 1) Yr Q, (x) ir Rh, («) j
Om en ny klass af tranhta funktioner. 11
Dessa resultat föranleda helt naturligt dnken, att liknande satser Aem vis också bestå för den i $ 1 infördaännare funktionen F(x), Enlig $ 1 satisfierar F(x) likheten
F (x + 1) = F (x) eller
r, (x) F(x+1)—) F(x)=0 I stöd af den MirrAG-LEFFLERSKA satsen man sätta F (a) = P (a (x),
der P(x) är en partialbräksserie samt | en beständigt jade 25 tensserie. Närmast till hands ligger jet antagandet, att P(x) satisfierar likheten.
r, (zx) P(x+1)—r e (x) 2 — R 2)
. der R(«) i likhet med r,(z) och r, (z)| en hel rationel funktion eller xir minstone en funktion af hel karakter. le detta antagande vara riktigt, Sà : vore Q(x) i besittning af egenskapen
v, (à) Q(x 4- 1) — r,|Q (2) = B (2),
hvilken likhet emellertid blott i den hänse uttrycker någonting anmärknir värdt, att R (x) reducerar sig till en heltionel funktion.
Den allmänna formen för partialbrälerien P(a) är med ledning gående $ lätt att uppställa. Sättes
af före-
an (@,n)
ck tn); x — dot N
B © jee (x — a, Lay e ER
tionela funktioner, hvilka böra väl- så faller P(x) under den all-
der A utmärker konstanter samt g hela jas så att serien blir likformigt konverge, männa formen
(19) S(z) 28(z;a)- S(v;) + «>> + S (x; ar). Om konstanterna A uti S(x) ha delpeciela värden, som de måste ega
»cknin- för att S(x) skall vara partialbráksseriejór F(x), Så använda vi bete garna:
ds MELLIN.
E st. für S (x), Pi (n. SR iS (6 sag):
Förr än vi fóretaga någortämning af konstanterna A uti partialbräks- serien P(x), söka vi att finna svar på frågan, om det öfverhufvudtaget är möjligt att uti en partialbräks af formen 5 (x) bestämma konstanterna A samt de hela rationela funktion g på ett sådant sätt, att de r addenderna i S(v) blifva likformigt konverade serier samt differensen
(20) r, (x) + 3) — v, (x) S (x) en funktion af hel karakter ellaed andra ord sagdt, differensen S (1) — r (2) S (x)
en funktion af rationel karakterilken inom ändligt område icke blir oánd- ligt stor i andra punkter än müvis i nollställena för den genom likheten (11) definierade hela rationela ftionen » (x). Denna fråga är så stäld, att svaret på densamma i hvarje falntingen det utfaller jakande eller nekande, bör blifva upplysande för våra ursökningar. | Under förutsättning, att derskilda addenderna i $ (x) konvergera lik- formigt, är differensen (20) en fuion af hel karakter alltid och endast, ifall densamma för omgifningen af hvaroändlighetsställe o vare sig för S (x) eller S (v+1) kan utvecklas i en kongerande potensserie, som fortskrider efter hela och positiva potenser af z — Framför allt måste således hvarje oänd- lighetsställe för r, (x) S (à) motsws af et dermed lika oändlighetsställe för 7, (v) S (x +1), och omvändt hvar oändlighetsställe för den senare produkten motsvaras af ett dermed lika oänchetsställe för den förra. Derjemte måste hvarje koefficient för en negativ jens af x — o i den emot oändlighetsstället © svarande potensserien af den e produkten vara lika med koefficienten för samma potens af z—0w i den et stället c svarande potensserien af den andra.
Oündlighetsstüllena för S(x) gà såsom termer i de r aritmetiska se- rierna (14):
4o, 05 — 1. 7 do — f, - 9, 2, een Ve
Ibland dessa äro ställena (16): a $5.5 On
1) 2?
uppenbarligen icke oándlighetsstüllenór S(x 4-1). Emedan”, (x) i punkten ao,
Om en ny klass af transcendenta funktioner. 13
hörande till värdena (16), blir noll af ordningen u,, under det att S(z)i samma punkt kan blifva oändligt stor högst af ordningen «,, så kan produkten r, (2) S (v) icke blifva oändligt stor i någon af punkterna (16). Differensen (20) kan således, äfven om storheterna A i S(x) lemnas obestämda, icke blifva oändligt stor för andra värden än de gemensamma oändlighetsställena för S(x) och S(r--1), hvilka tydligen ingå såsom termer i de r aritmetiska serier (21) Go — 1, Ag —2, ..., dg — y .. 0o— 11,2, 1. Wer
som erhällas genom att ifrän hvar och en af de r aritmetiska serierna (14) bortlemna första termen. Emedan tvenne af serierna (21) enligt $ 3 icke ha någon term gemensam, så kan intet af de oändlighetsställen, som differensen (20) besitter sälänge storheterna A lemnas obestämda, vara ett oändlighets- ställe för mer än en enda ibland de r differenserna (22) r, (m) S@+1; ao) - v, (2) S (v; ag)
o-—]- 2. PET i hvilka differensen (20) kan upplösas. Skall således differensen (20), under förutsättning att addenderna i S(x) konvergera likformigt, vara en funktion af hel karakter, så är det både nódvündigt och tillräckligt, att differenserna (22) alla blifva funktioner af hel karakter.
I omgifningen af ett för S f(x; a.) och $(x+1;a,) gemensamt oändlig-
hetsställe
qi—— n; m
ür (0,7) (0,1) À À ss) — - u. en Ge) (r— a, + n) e EM dn och (0,11) (em-1) u 1 Se T: a.) . "Ra ee) (x— 4, +n) ® q — as 4- n
der G och @, beteckna vanliga, efter hela och positiva potenser af z — a, 4- n fortskridande potensserier. Skall nu såldes differensen
(23) r, (2) S (c +15 a9) — r, (v) S (v ; av)
vara en funktion af hel karakter, så är det, unter forutsättning att S (x ; aj)
14 HJ. MELLIN
konvergerar likformigt, nödvändigt och tillräckligt, att också hvar och en af de oändligt många differenserna
(0,n—1) (0,n—1) (9,9) Au, ; Ts Au, r, (a) ee u NN — v, (x) i ü + (m — a, + n) e X—aA+N (x — ag + n) e (0,2) 1 + E e er L— dg FN) DEN, AGE
skall kunna utvecklas efter hela och positiva potenser af resp.
T— A +N ne
Emedan nämnaren i det reciproka värdet af r (x), för hvilket vi införa beteckningen 25 yo -— SR S Misi TAC enligt vilkoren i 8 3 icke kan blifva noll i något af ställena Qu— de np ip
så kunna differenserna (24) utvecklas på det nyss nämda sättet alltid. och endast, ifall också hvar och en af differenserna
(0,m) (en) (0501) (0,n—1) Ån, À zm A, or name meme BE) Te (x — ay + N) 2 U + N (v — ay + n) e y—a,Tn n— ES,
kan utvecklas efer hela och positiva potenser af resp. D Go + n, md, 2:95...
eller, med andra ord sagdt, ifall koefficienterna för samtliga negativa potenser, som uppträda dá man verkställer utvecklingen, blifva noll. Använder man nu
likheten * pcm s (x) = s (ag — n) + s (ag — n) (x — ag + m) us s E io) 9
E MeL) epus
bi Qt
Om en ny klass af transcendenta funktioner.
och verkställer utvecklingen samt sätter koefficienterna för de negativa poten- seran af z — a, +” lika med noll, så erhållas likheterna
| (x) (n—1)
4,=s(a-n A,
(n) , (n—1) (n—1) ua 78 (an) A, - 5 (a—0)A, ,
(k) (k—1) (26) 4 s (a—m)v-» s — (a—m)o-o (n—1)
Eur DES À, ERO 0x. Fs(a—n) A, ,
(n) e (a — n) (n—1) ARE (a — n) (n—1) (n—1) Lm Tu] DOTE A, ot (S (a—n) A,
DUR EN o ocz
i hvilka vi fór enkelhetens skuld ófver allt bortlemnat index o, i det vi satt
Under förutsättning, att S(x; a.) konvergerar likformigt, uttrycka dessa likheter icke blott det nödvändiga utan också det tillräckliga vilkoret för att differensen (23) skall vara en funktion af hel karakter.
Genom rekursionsformlerna (26) är hvar och en af de följande konstan- terna A entydigt bestämd så snart konstanterna
(0) (0) (0)
TUA A
un LL se 1
i första termen af S (x; a.) blifvit godtyckligt fixerade; och detta sålunda att hvar och en af konstanterna (n) (n) (n)
A, , À À
ua ul). en 1
är en homogen och lineär funktion af (0) (0) (0) u i» TD. Betünker man nu att man alltid, huru också konstanterna i första termen
má fixeras, sedan åt de öfriga tilldelats de entydigt bestämda värden som er- erhållas ur rekursionsformlerna (26), derefter på mångfaldiga sätt kan fram-
16 alas Al sen TENE
ställa en sådan följd af hela rationela funktioner 9, (v, ao), 9, (©, Ae), ..., att serien S(x; a.) blir en likformigt konvergerande serie, så inser man att det existerar en oändlig mängd funktioner af formen S(x;a,), som besitta egenskapen
7, (2) S(z 1; a9) =", (x) S (v5 a9) — 9t (15),
i hvilken likhet R (x; a,) betecknar en funktion af hel karakter. Divideras
hvartdera membrum af denna likhet med r, (x), så fås (27) S (x -- 15a) =" (v) S (v; ap) — R (ae),
deri R(x;a,) är en funktion af rationel karakter, hvilken inom ändligt om- råde icke kan blifva oändligt stor för andra värden än möjligtvis nollställena till v, (@): R (v ; ao) R(& 5 ae) = r (2) =)
Likheten (27) uttrycker en anmärkningsvärd egenskap, emedan > (x) och R (x ; ao) ha ett ändligt antal oändlighetsställen, under det att S (v; a.) har sådana till ett obegränsadt antal. -
Tillämpas nu de resultat som erhållits på den genom likheten (19) defi- nierade funktionen S (x), så inses utan vidare utläggningar, att det existerar oändlig mängd funktioner af denna form, hvilka satisfiera hvar sin likhet
S (x + 1) => (x) S (z) — R (x),
deri R(x) är en funktion af rationel karakter, hvilken inom ändligt område icke har andra oändlighetsställen än möjligtvis nollpunkterna för v, (v). Un- der förutsättning, att addenderna i S (x) göras likformigt konvergenta, uttryckes det nödvändiga och tillräckliga vilkoret för att S(x) skall vara i besittning af denna egenskap genom r särskilda system rekursionslikheter af formen (26), motsvnrande de r addenderna i S (x).
Genom att i stället för r (x) använda det reciproka värdet s (x) ha vi här lyckats framställa rekursionsformlera (26) under en vida enklare yttre form än den, hvarunder de motsvariga rekursionsformlerna i första delen af denna af- handling upptráda.
Den fråga, som vi nu närmast ha att besvara, är denna. Satisfiera kon- stanterna A uti partialbràksserien P (x), hvilken också är af samma form som S(r) de r systemen (26)? Denna fråga kommer i följande $ att besvaras jakande.
Om en ny klass af transcendenta funktioner. | 17
5. Vi föreställa oss, att konstanterna À uti S(x) ha de speciela värden, som de måste ega för att man skall kunna sätta S (2) = P9, S (2; a) - P(v; a),
(Q1) och uppvisa ensamt i stöd af detta antagande, att konstanterna A satisfiera
likheterna (26). Dermed är dà bevisadt, att Pí(r;«,) satisfierar likheten P(v 15a) —r(2) P(z; aj) — R (v; a), och således P(x) likheten P (x 4- 1) 2 v (a) P (x) — R (x), der R(x;a,) och RB (x) äro funktioner af rationel karakter, hvilka inom änd- ligt område icke kunna blifva oändlig stora i andra punkter än de, hvari r (x) blir oändligt stor.
Om konstanterna .4 ha de angifna värdena, så kan man för en viss om- gifning af stället
&—a —n sätta (n) (n) 1 4 Y Aa) — at tt AG EN (©—-a+n) z—a+n der (m) (950) ee apr MH He
samt @ en efter hela och positiva potenser af z — «-4-» fortskridande potens- serie. Enligt en bekant sats ur integralteorin är nu 1 2 7L " n (2) : : ., Uk TERT |i (28) 4, i3 z| F(a- nre mes ede
der r är en positiv quantitet, som blott är underkastad bestämningen att vara mindre än afståndet ifrån punkten a — n till närmaste oändlighetsställe för F (x). Ur likheten (28) fås
27m
po ; e in" (29) An) (a n-- 1-d- m8 MECK ELIT
Gór man uti likheten (28) under integraltecknet bruk af likheten 3
18 E JS RME TN:
F(a-n+re'')=F(a-n+1+re'Ys(a-n+re®)
© 9 (E 3 = it À = F(a—-n+1i+re > = om 2 —( I— så fås, om man tillika använder likheten (29), (n) (n—1) N (n—1) (k) N) A, 47 8 (a — n) AS (a — n) E PUEDE Hm Ar
1 E ; u 4 +, SFla-n+1+re") (ret) f (re** dt, T
der f(re'^ är en rationel funktion af re^, hvilken antager ett ändligt värde für r=0. Emedan lim F(a—n+1 re!) (rett.
r=0 är en ändlig qvantitet, och följaktligen
- REN. dt YE lim Fla-®+1+re'")(re’’)"*! f(re*—0, r=0 så är sista termen i högra membrum af den nyss härledda lihketen jemväl noll. Bortlemnas denna term ifrån likheten och skrifvas de öfriga termerna i högra membrum i omvänd ordning, så erhålles
ET (a = n) (n—1) (n—1)
(n) g a—n) m) S ( ) +...+s(a—n) A,,.
Dem UM u | —1 ui
Denna likhet utvisar att konstanterna A uti P(v; a.) satisfiera likheterna (26).
Det är således en fullkomligt allmän och anmärkningsvärd egenskap hos partialbråksserien för hvarje funktion af formen F(x), som är underkastad vilkoren à $3, alt densamma satisfierar likheten
(30) P@+1)=r@)P(@)-R() hvilken påminner om den motsvariga egenskapen F(&+1)=r (x) F(x) hos F(x) self.
Vi ha tillika lyckats upptäcka en lag, enligt hvilken oändlighetspunkternas konstanter A äro bestämda genom ett visst antal af de första ibland desamma.
Ur det sätt, på hvilket vi genomfört den föregående undersökningen, har vidare framgått, att partialbräksserien P(x) blott är ett specielt exemplar
Om en my klass af transcendenta funktioner. 19
ibland oändligt många andra funktioner af samma form och med samma egen- skap som F (x).
Ibland alla dessa funktioner S (x), som satisfiera en likhet af formen (30), äro helt naturligt de mest anmärkningsvärda, för hvilka R (x) reducerar sig till en rationel funktion. Vår uppgift i det följande blir nu förnämligast att just uppsöka och studera funktioner af detta slag.
Hittills har »(x) fått betyda hvilken rationel funktion som helst, hvars täljare icke är en konstant och som uppfyller de i $3 faststälda vilkoren, att skilnaden emellan tvenne af de r+s storheterna a, b icke är ett helt tal. I och med detsamma som r(x) är gifven, är också den funktion af formen (1), som satisfierar likheten
F (y 4-1) 2 v (a) F (a),
entydigt bestämd, så när som på en faktor prim der k är ett helt tal. Om- vändt är också r (x) entydigt bestämd så snart F (x) är gifven.
Härefter blir undersökningen beroende deraf, om gradtalet för täljaren i r(r) är större än, lika med eller mindre än gradtalet för nämnaren, eller noggrannare uttrycket, om absoluta beloppet af
lim r (x) = M
T—100 är större än, lika med eller mindre än 1. TI återstoden af denna andra del af afhandlingen förutsättes att
|. M|» 1.
Fór detta fall komma vi med det fórsta att bevisa, att samtliga addender i S(x) fórblifva icke blott likformigt utan ocksà absolut konvergerande serier, äfven om alla deri ingående hela rationela funktioner g, sättas lika med noll. Alla de funktioner S(x), som på detta sätt erhållas, äro anmärkningsvärda derigenom, att den motsvarande funktionen À (x) reducerar sig till en rationel funktion.
Af stort intresse är också fallet | M|=1. Hit höra exempelvis poten- serna af den EuLERSKA integralen af första slaget
‘re et = S
Hvad den likformiga konvergensen hos serierna S i detta fall beträffar, så kan denna i allmänhet åstadkommas, utan att man behófver låta gradtalet för de
[U
90 Hs. MELLIN.
hela rationela funktionerna g, växa öfver hvarje gräns samtidigt med ordnings- talet. I vissa fall kunna till och med samtliga g, sättas lika med noll, utan att serierna upphöra att vara likformigt konvergenta. Behandlingen af de funktioner, för hvilka | M | — 1, är dock till en stor del beroende af de spe- ciela antaganden, som kunna göras angående konstanterna a, b, hvarföre fallet |M|=1 lämpligast afhandlas särskildt för sig. i
Af ett vida mindre intresse än de tvenne föregående synes fallet | M|<1 vara, emedan gradtalet för de hela rationela funktionerna g, med ordnings- talet måste få växa öfver hvarje gräns, för att serierna skola blifva likformigt konvergenta. |
6. Låt oss således nu likasom i det följande antaga, att gradtalet för täljaren i r (x) är antingen större än eller lika med gradtalet för nämnaren, samt att qvantiteten M, om det senare är fallet, till sitt absoluta belopp är större än 1. Låt oss, med ett ord sagt, antaga att
1 0< | < t ar Låt vidare s vara en positiv qvantitet, som uppfyller vilkoret NW Esc. | a | À
Emedan
(= rg) och fóljaktligen 1 lim s (x) = mM’
så kan man fastställa en positiv qvantitet o, som är så stor att | see e
för hvarje värde på æ som till sitt absoluta belopp är större än o. Fram- ställes s (x) under den bekanta formen af en summa utaf partialbråk och en hel rationel funktion, så måste uppenbarligen denna hela funktion reducera sig
1 till konstanten M Härleder man ur denna summaform genom differentiering
liknande uttryck för de deriverade af s (x), så utvisa dessa uttryck omedel- bart att
Om en my klass af transcendenta funktioner. 21 lim s? (x) = 0. v*—o00 Vi kunna således, sedan vi godtyckligt faststält en positiv qvantitet ó som uppfyller vilkoret
e+ (wu — 1) 6 « L, (o — t),
derefter fastställa ett positivt helt tal »', som är så stort att samtidigt
(u.—1i 8
| ) |s(a—9) |«s | (a—9)| «5. (a—n)| «à för hvarje värde på x som är större än x». Betraktar man nu rekursionsform- lerna (26) under förutsättning att n>n’, så utvisa dessa att I (n) | (n—1) |
< |a ES Rn
| (n—1) | (n—1)
L | À ss [sel 14, 1 8|4A,,
(n) | (n—1) MUS 1) | Kl dur | <a, EI Au] t 8| Aus (n) E: | (n—1) | (n—1) | (n—) | | (n—1) ean s spa 20a, ca CUL A Följaktligen är NON | (n) | | (n) | A u | + | | | er Date D + | À, | | b 1) | (n—1) | | (n—1) | £ (e + (u —1)6) |A M s j+-..+e) 4 och derfür i (n) 4, |. (n) | | Q0) | E: ) ( my | | 011) | e 1) | A see + A |S(e+@-D0 IA, EA er, ) Emedan &—+(u — 1) 0 — 1, så är | E (n) (n) | (x) (31) > Aa an)
n—b i stöd af ett bekant konvergenskriterium en konvergerande serie.
Sedan nu konvergensen hos serien (31) är ädagalagd inser man genom användande af ytterst vanliga betraktelser, att serien
99 HJ. MELLIN.
B (n) (n)
A A (32) S(x;a)= E + EE | (x — ain) (x — a +n) z-a+n)
(n) (@,n) «cba E Aup-r? 4 — d, , t —
ür en icke blott likformigt utan ocksà en i den mening absolut konvergerade
serie, att (2) | Å | NEM EX en z-atrn)|
har ett ändligt värde för hvarje värde på x, som icke gör någon af termerna oändligt stor.
När vii det följande använda beteckningen 5$ (x ; a) så förstå vi dermed alltid en serie, som är definierad genom likheten (32), hvari åter konstanterna A äro underkastade vilkoren (26), hvilka lemna konstanterna
JE
n=0
Q) — (n) (0) Aui Aya PERS A: uti första termen af S (v ; a) obestämda. Genom att välja dessa på olika sätt erhåller man ett oändligt antal funktioner, hvilka alla, satisfiera hvar sin likhet af formen
(33) S(x+1; a )=r(x)S (x; a) — R (x; a). Låter man sedan o uti likheten (32), deri vi för enkelhetens skuld satt (0,2) (n) ES up a, E. uo — t
antaga värdena o — 1,2, ...,7, så erhållas » skilda grupper af funktioner med ett oändligt antal i hvarje grupp. Hvar och en af dessa grupper motsvaras af ett bestämdt system rekursionslikheter af formen (26), förmedelst hvilket man kan beräkna hvarje till gruppen hörande funktion, och hvilket icke är lika med något till en annan grupp hörande system, alldenstund äfven om us = u, likheten
s® (a, — n) — s? (a, — m)
icke kan ega rum för mer än ett ändligt antal värden på x säsnart a, och a,
Om en ny klass af transcendenta funktioner. 23
äro olika. Såsom de förnämsta representanterna af dessa grupper kunna vi betrakta serierna
D (ms D [4 m. P(v;a),I (2; a,) REP, en) hvilka tillordna sig de r faktorerna
13 (r1) 1** (x A (net)
i tüljaren af F(x) enligt den principen, att 1e (2 — a) och P (v ; a.) ha samma oändlighetsställen. Den grupp, hvaraf P(v;a) är en representant, kunna vi benämna gruppen (a,). Tvenne serier, hórande till skilda grupper kunna i följd af vilkoren i $ 3 icke ha något gemensamt oündlighetsstülle. Deremot blifva de serier, hvaraf gruppen (a) består, alla oändligt stora så snart argu- mentet © sammanfaller med en term in den aritmetiska serien
Bt 1,4, —2,.. > 4 msc
Riktigheten af detta sista påstående grundar sig på den satsen, att samt- liga konstanter A uti en och samma term af en serie S (v; a) icke kunna vara på en gång noll, med mindre än att S (x; a.) är identiskt lika med noll och således icke någon verklig partialbräksserie. Sanningen af denna sats härflyter åter ur rekursionsformlerna (26), ity att man icke blott kan uttrycka hvar och
en af konstanterna
(n) (x) (n) A AIN
1
såsom en homogen och lineär funktion af
(0 (0) (0) "S.
utan ocksà, alldenstund |s$(a —n)| 0,
hvar och en af de senare såsom en homogen och lineär funktion af de förra. Ur rekursionsformlerna (26) härflyter också omedelbart riktigheten af satsen: om hvar och en af konstanterna A uti första termen af en serie S (x; a.) är lika med den motsvarande konstanten i första termen af en annan till samma grupp hörande serie, så äro serierna sjelfva identiskt lika. Vidare är det också uppenbart, att hvarje homogen och lineär funktion
94 Hy. MELLIN.
med konstanta koefficienter af ett antal till en och samma grupp hörande serier kan sättas lika med en enda till gruppen hörande serie.
Låt S, (x; a,), 8, (x5 a), .. ., 8, (1; a)
vara 4, till gruppen (aj) hórande serier samt
(0) (0) (0) T. > 1Lo
(0) (e) (9) 217 4, 72
(0) (0) (0)
À, A,
de till de resp. fórsta termerna af dessa serier hórande konstanterna. Om mu serierna S äro så valda, att determinanten
(0) (0) (0) RL. An, P WP À (34) A = 21) Tee rue e (0) (0) (0) A, ÄNDER Åka,
icke är noll, så kan hvarje annan till gruppen (a,) hörande serie S(x; a.) all-
tid och blott på ett sätt uttryckas såsom en homogen och linedr funktion med
konstanta koefficienter af S,,S,,.. > Bug d. v. s. under formen
(38) S(v;a,) — 9 8, (x; (09) + 92 8, (x; a) rss D, 8, (2; a).
Ty làt (9 (0) (0)
ps nrg Lo
vara konstanterna i första termen af S(x;a,). Emedan determinanten 4, till det lineära likhetssystemet
Om en my klass af transcendenta funktioner. 25
(ig (9) m AD: FA, p? + b Au Pus 4, (0) (0) (0) (9) (0) (9) (36) A,. p, T PN +... uS A, (x ous $e (9) te) 9 Au, Le Lo p? e + Aou P Le
enligt antagandet icke är noll, sà finnes det alltid ett och blott ett enda värde- system
(0) (0) 2, Yo EDT
för hvilket detta system af likheter eger rum, och för hvilket således, i stöd af de tvenne närmast föregående satserna, likheten (35) eger bestånd. Låt oss nu betrakta de funktioner, som inbegripas uti uttrycket
(37) S (a) = »s (x;a,)
deri S (2; 4,) får beteckna hvilken som helst af de till gruppen (a,) hórande serierna. Uti likheten
(38) S (x 4-1) 2 v (x) S (zx) — R (v)
är tydligen (39) (2) = Inc (a; ;4,) Làt 8, (x;a,), 8, (x; a,), . .- Su (v; a)
likasom fórut beteckna u, till gruppen (a) hórande serier, fór hvilka deter- minanten 4, icke är noll. Då består likheten (35), med hvars tillhjelp man kan uttrycka hvarje funktion S (x) under formen
(40) S(x) = Fans (x;a,) + p? S, (25a) Fes +28, (2; a,)).
Uti detta uttryck ingå wu, +u,+...+u,=u en gång för alla på ett visst 4
26 s Hs. MELLIN.
sätt valda serier samt lika många konstanter p. Genom att nu endast variera dessa konstanter erhåller man alla funktioner, som inbegripas uti det första uttrycket för S(z). Äro serierna S gifna och gäller det att framställa S (x) under formen (40), så har man att bestämma konstanterna p ur ett system af u,+u,+...+u,=u lineära likheter, hvilket utgör en sammanfattning at der system, som erhållas genom att i systemet (36) låta index o efter hand antaga : värdena o — 1,2,...,7. Betecknas determinanten till det sålunda erhållna systemet med 4 så är denna lika med
(41) de 4,
om 4, blott och bart utmärker scemat:
(0) (0)
Ur denna form för 4 framgår att (42) A= HIE Uf. Genom att på ett lämpligt sätt bestämma konstanterna p kan S (x) göras
identiskt med hvilken som helst af serierna S(x;a,) och är derför ett all- männare uttryck än hvar och en af dessa serier.
7. Uti denna S skola vi nu slutligen uppvisa att hvarje funktion A (2; 4,) uti de likheter, som satisfieras af serierna S (2; a,), ür en rationel funktion.
I och med detsamma ha vi också bevisat, att R (x) uti likheten (38) alltid är en rationel funktion. I denna afsigt undersóka vi differensen
$ (25a,) =", (2) S (c ;a,) =", (v) S(&+1;a,)=
Om en ny klass af transcendenta funktioner. 27
Hi (0) yw 4, | Er (x) ped ser Ar -—' | (© — a) æ—a (1) D f (n—1) (n—1) Au | | i 1 | 2 e al TK ri NERONE | 2088 pa TQUE. FEMA _ z—ad n)" Gain (c —a4-n) c—a4n der vi fór korthetens skuld satt (0,21) (n) à Au, EN A: 4, — 4, u, — w.
Emedan r, (=) för z — blir noll af ordningen uw’ så kan första delen af sista membrum sättas lika med en hel rationel funktion, hvilken högst är af graden «— 1, om « likasom i $ 2 betecknar gradtalet för r,(x) Emedan
R (v5 a) med säkerhet är en funktion af hel karakter, så kan ingen af ter-
merna i andra delen af sista membrum blifva oändligt stor. Om man således under summationstecknet utvecklar den allmänna termen efter potenser af æ—a+n, så måste de negativa potenserna i första delen af termen upphäfvas af de negativer potenser, som uppträda i andra delen af termen. Emedan gradtalet u för r,(x) icke är mindre än gradtalet v för r, (x), så har uppen- barligen den högsta positiva potens af x — a +n, hvilken ófverhufvud kan upp- träda i termen, till exponent «— 1. Den allmänna termen kan således bringas under formen
A, A, (@-a+m+...+4 (© — a ny
u-ı Utvecklas detta uttryck efter hela och positiva potenser af x så antager R (r;a,) utseendet
Emedan serien 5 (&;a,) ür likformigt konvergent, sà är detsamma ocksà fallet med den sist erhållna serien. Man får således ordna densamma efter potenser af x och erhåller derigenom ett resultat af formen
(43) R (x; a) = at 2 a sta. te, X
(0 Fa der a a, ...,4a% äro af x oberoende storheter.
28 Hyg. M ELLIN. I fóljd af likheten
R (x; a,) 44 R (x: = zu a NC C är R (v5a,) uti likheten (33) en rationel funktion, hvilken inom ändligt om-
råde icke har andra oändlighetsställen än möjligtvis
b TR
39972. 8
Vidare utvisar likheten (37), att R(x) också är en rationel funktion, hvars nämnare är lika med >, (x) samt täljare lika med
r
R (x) = Ya (m; a.)
0—1 Denna kan således bringas under formen (46) R (0) a, a, c... a m" . I anledning af de resultat, hvartill vi senast kommit, framställa sig nu ett par frågor till besvarande. Låt oss betrakta det allmänna uttrycket S (x), hvilket omfattar alla funktioner, hos hvilka vi hittills uppvisat egenskapen
S (x + 1) «v (x) S (x) — R (x)
för det fall att R (x) betecknar en rationel funktion. Emedan serien (31) är konvergent, så är det tydligt, att hvarje funktion S(x) också är i besittning af egenskapen (47) lim S (x + m) = o. m=00
Omfattar nu uttrycket S (x) alla tänkbara funktioner med dessa tvenne egen- skaper? Då vi göra denna fråga, så få vi naturligtvis icke antaga att grad- talet för täljaren i A (x) är större än u — 1. Vi kunna visserligen bilda ett oändligt antal funktioner af formen S(x), af hvilka hvar och en satisfierar sin särskilda likhet af formen (38), der R(x) är entydigt bestämd så snart S (x) är bildad. Men kan man omvändt först godtyckligt fastställa en rationel funk- tion, hvilken har samma nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än uw— 1, samt derefter bilda en funktion S(x), som satisfierar likheten (38)?
Då vi söka att besvara dessa frågor, finna vi ett nytt, allmänt och ele-
Om en my klass af transcendenta funktioner. 29
gant uttryck för funktionerna S(x), hvilket i enkelhet vida ófvertráffar ut- trycket (37). Emedan vi ständigt förutsätta att | M|> 1, så är enligt $ 2 lim (x ,m) = c. m-oo Hvarje funktion, som besitter egenskapen (47), är således à fortiori också i besittning af egenskapen
S (x js Sem) _ wm (tm)
I de satser, som vi nu skola bevisa och som innehålla svaren på de fóre- gående frågorna, får S(x) till en början beteckna en funktion i detta ords allmännaste betydelse. Man finner à posteriori, att de egenskaper som tilläggas S(x) göra denna till en analytisk funktion.
8. Först och främst bevisa vi sanningen af följande sats.
Hvarje rationel funktion R (x), hvilken har samma nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än u— 1, motsvaras af en blott af en enda funktion, hvilken besitter de båda egenskaperna
Pid 1) =" (2) 8 (x) — R (x)
(48) | . S(x+m) Ae (v, m)
Om man upprepade gànger anvünder den fórra af dessa likheter, sà er- hàlles
S (x + m) (49) r(z)r(r-1)...r(r-m-—1) ums (a) R (x 4-1) SL a, x. TR Geo + Grex rer). euch Emedan S (x + m) S (x + m) (v ,m)
r(z...r(r--m—1) (em) r(a)...r(@+m-1) och enligt $ 2
(a , m) E. rar (@+1)...r@+m-1) F (2),
30 Hs. MELLIN.
så utvisar den senare af likheterna (48), att första membrum af likheten (49) med växande m obegränsadt närmar sig noll. Om det således öfverhufvud finnes en funktion med egenskaperna (48), så är densamma entydigt bestämd genom likheten
; R (+ n) (50) 8 (2) = > (c) v (x 1).. .r(t 4x)
Skall härigenom existensen af en funktion med de tvenne egenskaperna (48) vara ådagalagd, så måste högra membrum af likheten (50) vara en konverge- rande serie, hos hvilken dessa egenskaper kunna uppvisas.
Emedan förhållandet emellan en term och den närmast föregående i serien S(x) är lika med
R(ztm) — 1
ICONE | cu)
och emedan uti detta uttryck
samt enligt antagandet
lim | «JL.
1 lern) [ar så inses först och främst genom mycket vanliga betraktelser, att S(x) är en absolut och likformigt konvergerande serie. Densamma framställer således en analytisk funktion, hvilken uppenbarligen är af rationel karakter. Ur den enkla bildningslagen för termerna framgår vidare att serien besitter den första af egenskaperna (48). Emedan
__ (e m) ", (m). . fp E r()r(@+1)...r(@+n) r,(x) r (v 4- n)v, (x + n)
der (x) är en hel rationel funktion, hvars gradtal icke är större än u— 1, så är gradtalet för täljaren i det sista uttrycket icke i större än
(nd 1) v+uw—1, under det att gradtalet för nämnaren är lika med (n + 1) u+v.
Emedan v <u så är gradtalet för täljaren mindre än gradtalet för nämnaren.
Om en my klass af transcendenta funktioner. 31 Serien S(x) har således med hvar och en af sina termer egenskapen
lim S (x + m) = 0 m=00 gemensam. Häraf följer à fortiori, att S (x) också besitter den andra af egen- skaperna (48). Genom att nu åt de « koefficienterna uti
u—1
R(x)=a,+a;,x+. a x
4
tilldela olika värden erhäller man ett oündligt antal funktioner, af hvilka hvar och en satisfierar ett bestämdt likhetssystem (48). Till dessa funktioner höra alla funktioner af formen (37). Det återstår ännu att undersöka, huruvida uttrycket (50) icke är allmännare än (37) eller, med andra ord sagdt, om hvarje funktion af formen (50) kan bringas under formen (37).
För att kunna afgöra detta, måste vi öfvertyga oss derom, att man alltid ibland de funktioner, som falla under formen (37), kan uttaga w stycken, emellan hvilka ingen homogen och lineär likhet med konstanta koefficienter kan ega rum, med mindre än att samtliga koefficienter på en gång äro noll.
Låt oss t. ex. förfara på det sätt, att vi ifrån gruppen (a,) uttaga w, serier S(x;a,) för hvilka determinanten 4, icke är noll, ifrån gruppen (a,) u, serien S(v;a,) för hvilka determinanten 4, icke är noll, o. s. v., samt slutligen ifrån gruppen (a,) u, serier S(x;a,) för hvilka determinanten 4, icke är noll. Vi erhålla sålunda öfverallt u, +u,+...+u,=u serier, som alla falla under den allmänna formen S(x) och hvilka, skrifna i en viss ordnings- följd, må betecknas med
(51) S; (2), 8, (2), -.- v, 2):
Emellan dessa serier kan nu ingen homogen och lineär likhet med konstanta koefficienter ega rum, med mindre än att samtliga koefficienter på en gång äro lika med noll. Ty skulle en sådan bestå, så måste också, alldenstund serier hörande till skilda grupper icke ha något gemensamt oändlighetsställe, - en homogen och lineär likhet med konstanta koefficienter ega rum emellan de ur gruppen (@,),(@=1,2,..., r), uttagna serierna, hvilket äter är omöjligt eme- dan determinanten 4, icke är noll. Lät nu
S, (a: +1)=7 (ac) 5, (a) — HR, (x) Alt, 122m ae
32 : Hs. MELLIN.
vara de u likheter, som satisfieras af de resp. serierna (51), och låt oss uti likheten
R, (x)
Ro) EP a (2) PU
sátta
Pa (x) = a, +a,æ+.. + zc
samt bilda determinanten
d,, 12 14 eh. I Or (52) Ô = 21 22 2u : a o ur Pus Up
så gäller först och främst satsen: om funktionerna (51) äro så valda, att in- gen homogen och linedr likhet med konstanta koefficienter dem emellan kan ega rum, med mindre än att samtliga koefficienter på en gång äro noll, så kan determinanten à icke vara lika med noll.
Ty bildas funktionen
f (&) = p, 8, (x) - p, 8, (x) - - +P. 5, (x), så besitter densamma uppenbarligen egenskapen i
f (x 4-1) 9r (a) f (x) — B (2),
deri
samt
R (x) =D, t, (x) DR, (x) > 2k +D,R, c).
Ordnas R (x) efter potenser af v, så fås ett resultat af formen
$ (x) 2e, Ho, x... bna.
Vore. nu d=0, så kunde man satisfiera det homogena och lineära likhets- systemet
Om en ny klass af transcendenta funktioner. 33
€, —8,9, 7-6, p, -.. 8, p,—O wap +0,90, dd, p, 0
ASCII LD ie ue es s »:-.0 Jiu eiue suia ens «De
u a, D, F0, p, t... Ta
genom ett värdesystem DoD ag Du, deri samtliga p icke vore lika med noll. Då skulle f(x) besitta egenskapen f (x 4-1) — v (x) f (a),
och fóljaktligen vore
f (x -- m) A r(a)r (@+1)...r(@+m-1) rule
huru stort ock det positiva hela talet » mà vara, hvilket, alldenstund
lim f (x + m) —0 , lim | r (r -- m — 1) | 1, m=00 m=00
icke kan ega rum med mindre än att f(x) är identiskt lika med noll. Für det nyss fixerade värdesystemet p måste, med andra ord sagdt, likheten
f (z) = p, 8, (æ) - p, 8, (x) +... ED, 8, (x) = 0
ega rum, hvilket strider emot vårt antagande, att emellan funktionerna S in- gen homogen och lineär likhet med konstanta koefficienter kan ega rum, med mindre än att samtliga coefficienter på en gång äro nol. Härmed är den förberedande satsen om determinanten à bevisad. Låt nu slutligen R (x)
Te i den förra af likheterna (48) vara en godtycklig rationel funktion, hvars nàm- nare är lika med r, (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än u—1, samt S(x) den funktion som fullständigt karakteriseras genom de sam- tidiga likheterna (48). Sätt
R (2) = a, ta,zt...a,u
och låt S, (x), $, (x), ..., 8, (2)
ot
34 Hy. MELLIN.
likasom förut vara « funktioner (51), emellan hvilka ingen homogen och lineär likhet med konstanta koefficienter kan bestä,. med mindre än att samtliga koeffieienter pà en gäng äro noll, samt bilda äter af dessa funktioner det ho- mogena och lineära uttrycket
f(x) = p, 8, (x) - 5, S, (x) +...+p, 8, (2). Emedan determinanten à ull det lineära likhetssystemet
€, —60,,0,—40,,..., €, — 0, enligt föregående sats icke kan vara lika med noll, så finnes det ett och blott ett enda värdesystem
Pr SURA p.
för hvilket detta system af likheter eger rum, för hvilket, med andra ord sagdt, Rx) och R (x) äro identiskt lika. För detta värdesystem äro nu också de liknämniga bråken R (x) och R(x) identiskt lika, och följaktligen satisfierar också f(x) den förra af likheterna (48). Emedan f(x) besitter egenskapen lim f (x + m) = 0, m-ao så satisfierar f(x) också den senare af de likheter, som satisfieras af S (x). I stöd af den i början af denna $ bevisade satsen äro således f(x) och 5 (x) identiska. Härmed är nu följande sats bevisad. Äro
S, (a) E S. (a) jo9mon 8, (x)
u funktioner af formen (37), hvilka äro så valda att ingen homogen och lineär likhet med konstanta koefficienter dem emellan kan ega rum, med mindre än att samtliga koefficienter på en gång äro lika med noll, så kan hvarje funktion S(a) med de tvenne egenskaperna (48), der R(x) betecknar en rationel funk- tion, hvilken har samma nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet für täljaren icke är större än u — 1, alltid och blott på ett sätt uttryckas såsom en homogen och lineär funktion af S, (x), 8, (x) ,..., S, (c), d. v. s. man kan alltid och på ett sätt bestämma konstanterna p, ,p, ,...p, Så att likheten
S@=», S, (v) -- p, 8, (x) 4-... n UA (x)
eger rum för alla värden på x. Vi ha i det föregående bevisat, att determinanten ó icke kan vara noll,
Om cn my klass af transcendenta funktioner. 35
om funktionerna S,,S,,..,S, äro så valda, att ingen homogen och lineàr likhet med konstanta koefficienter dem emellan kan ega rum, med mindre àn att samtliga koefficienter på en gång äro lika med noll. Med ledning af de dervid använda betraktelserna inses, hurusom deremot en likhet af denna be- skaffenhet alltid eger rum, om determinanten à är lika med noll. Ett nöd- vändigt och tillräckligt vilkor för att funktionerna S,,5,,,...,8, skola vara af hvarandra lineärt oafhängiga är således att determinanten à icke är lika med noll.
9. Låt nu Rx) betyda en allmän rationel funktion, hvilken har samma, nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än u—1, och låt oss med en partikulär integral till systemet af funktionaleqvationerna
| S (x + 1) E (a) S (a) T R (a) . S(x+m) | m j (x , M) v
förstå hvarje funktion, hvilken satisfierar något af de oändligt många system, hvari systemet (53) kan öfvergå derigenom, att R(x) får beteckna en viss speciel rationel funktion af den nyss angifna beskaffenheten. Vi kunna dà uttala följande sats, hvilken så godt som ordagrant öfverensstämmer med en motsvarig sats inom teorin för de lineära differentialeqvationerna.
Om (54) S. (a^) SA (a) ee 8, (x)
utgöra ett sädant system af partikulära integraler till systemet af funktional- eqvationerna (53), att dess determinant à icke är lika med noll, så kan hvarje annan integral S (x) till det nämda systemet uttryckas såsom en homogen och lineär funktion af S, (x), S, (x) ,..., 8, (x), d v. s. under formen
(55) S (a7) = P, 5 (a^) = Pa S, (x) ar XQ t P, B, (a).
(53)
Emedan uttrycket (55) genom en lämplig bestämning af konstanterna D,,D.... p, kan göras identiskt med hvilken som helst af de funktioner, som satisfera hvar sitt speciela likhetssystem af formen (53), så benämna vi detta uttryck den allmänna integralen till systemet af funktionaleqvationerna (53). Uti den allmänna integralen äro de partikulära integralerna (54) så till vida arbiträra, att de blott böra uppfylla vilkoret | 9| —- 0. Om vi vidare med ett fundamentalsystem af partikulära integraler förstå hvarje system (54), af
36 IE JS MIE LL IN.
hvars elementer hvarje integral till systemet (53) kan uttryckes sásom en ho- mogen och lineär funktion, sà kunna vi ytterligare uttala fóljande satser. De partikulära integralerna
SAC) SAC) ET 0)
till systemet af funktionalequationerna (53) utgöra ett fundamentalsystem alltid och endast ifall en likhet af formen
p, 8, (x) + p, S, (a) cce 9,8, (7) = 0
dem emellan icke kan bestå, med mindre än att samtliga konstanter p äro lika med noll.
Emellan uw+1 partikulära integraler till systemet (53) består alltid en homogen och lineär likhet med konstanta koefficienter.
10. Låt oss nu taga i betraktande likheten F (v) — P (v) + Q (2),
der P(x) betecknar partialbräksserien och Q (x) den additiva potensserien för F(x). Emedan P(x) enligt de föregående undersókningarne utgör en parti- kulär integral till systemet af funktionaleqvationerna (53), så satisfierar den- samma en likhet af formen
(56) P(@+1)=r(a)P(@)- R (o), der R (a) är en rationel funktion, hvilken har samma nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än w— 1. Sammanställas de
tvenne föregående likheterna med likheten F(z + 1) => (x) F(x), så finner man, att den beständigt konvergerande potensserien
(57) Q(x)=c, Fetes 4... besitter egenskapen c (58) Q(z + 1) 2 v (v) Q(x)+R (x).
Vi skola nu bevisa en allmün sats, genom hvilken vi làra oss künna egenskaper, som fullständigt karakterisera funktionen Q (x), hvilken icke kan satisfiera det system af funktionaleqvationer, som i det föregående betraktats. Detta system innehålles såsom ett specielt fall uti följande system
S (x + 1) 2 r (z) S(x) — RB (x)
S (x + m) à
(59) dm
lim m=00 (x ? m)
Om en my klass af transcendenta funktioner. 31
der K betecknar en arbiträr konstant samt R (x) en allmän rationel funktion, hvilken har samma nämnare som r(z) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än «— 1. Vi skola nu fullständigt integrera detta allmännare system samt uppvisa, att Q (x) är en partikulär integral till detsamma.
Emot hvarje par af en konstant K och en rationel funktion R (x), hvilken har samma nämnare som r(x) och à hvilken gradtalet för täljaren icke är större än u — 1, svarar alltid en och blott en enda funktion S (x) hvilken be- sitter egenskaperna (59). Det är vidare alltid och blott på ett sätt möjligt att bestämma konstanterna p, ,p,,...,p,,q sålunda att
8 (a) — p, 8, (2) + p. S, (a)+...+p, 8, (2) - q Q2),
der S, (v) , 8, (x) ,... , S, (v) utgöra ett fundamentalsystem af partikulära inte- graler till systemet af funktionaleqvationerna (53). Genom att upprepade gånger använda den förra af likheterna (59) er- håller man S (x + m) r(x)r(z)-41)...r(x-m—1) Ziel. EFT) R (x -- m — 1)
Street tremore rm)
Emedan
T M S (x + m) ids r (x)v(z4- 1)...r(s TAE im S (xz + m) (a , m)
cse eum) mo) v e 1e. n (neon — Die KF(«),
enligt den senare af likheterna (59) samt $ 2, så fås
ER (x + n) Sm) = K FG) ET ’(@1).. 2 r(@+n)
Om säledes en funktion existerar med egenskaperna (59), sa mäste funktionen kunna framställas under denna form. Emedan högra membrum ocksà verkligen representerar en funktion, hvilken uppenbarligen (c. f. 8 2) besitter de antagna egenskaperna hos venstra membrum, sà ür hürmed riktigheten af satsens fórra del bevisad. Vi ha tillika för S(») erhållit ett analytiskt uttryck, som utvisar att S (x) är en monogen funktion.
Emedan F (z) = P (x) + Q (x),
38 EVE NT IN.
och emedan det alltid finnes ett och blott ett enda värdessystem p, ,p, ,... Du, sådant att
[9.9] R (x -- n) K P()* Iran). Gen] PS (0) 9. 8 (6) p 8, (a)
så är slutligen också riktigheten af satsens senare del bevisad.
Då nu följaktligen uttrycket
B (x) — p, 8, (x) + p, S, (&)+...+p,8,(x) + K Q (x)
genom en lämplig bestämning af konstanterna p, ,p, ,. D, K kan göras identiskt med hvilken som helst af de funktioner, som satisfiera hvar sitt spe- ciela likhetssystem af formen (59), så är detta uttryck den allmänna integralen till systemet af funktionaleqvationerna (59), hvilket genom framställningen af denna integral nu är fullständigt integreradt.
Antager man att A — 1 och bestämmer konstanterna p så att
p, 8, (2) t p, 8, (x) - ...- »,S, (e) = P»),
S (a) =F (a).
Antager man att A — 0 och bestämmer konstanterna p så som nyss, så
blir S (ans P a): Antager man att K — 1 och sátter p, — p, —...— p, — 0, sà blir Ser I stöd af den nyligen bevisade satsen kunna vi nu uttala följande teorem,
af hvilket de motsvariga satserna om I” (2) kunna betraktas såsom ytterst speciela fall.
Funktionen F (x) hvilken besitter och är fullständigt bestämd genom egen- skaperna
så blir
F (y + 1) =" (2) F(x), lim Fe le, m=00 kan sönderdelas i summan af tvenne andra funktioner P(x) och Q(x), af hvilka P(x) är en partialbräksserie af formen (37), hvilken besitter och är fullständigt bestämd genom egenskaperna |
PP (x 4- 1) «v (z) P (x) — R (a) , lim AGE =
m=00 (x, n) samt Q(x) en beständigt konvergerande potensserie, hvilken besitter och är full- ständigt bestämd genom egenskaperna
Om en my klass af transcendenta funktioner. 39
Q(&+1)=7r(x) Q(x) + F (a), cas Uh
EOS Ed m-oo x 2 m)
der R (2) är en viss rationel funktion, hvilken har samma nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än u — 1.
Ett medel att bestämma R (v) skall i det följande angifvas.
Ibland de partikulära integralerna till systemet (59) äro funktionerna F(ax),P(x) och Q(x) särskildt anmärkningsvärda på följande grunder.
F(x) är, på en konstant faktor när, den enda funktion, som satisfierar likheterna (59), då man antager att R (x) är identiskt noll.
Man kan erhålla en funktion, som satisfierar att likhetssystem af den sist nämda beskaffenheten, endast genom att i den allmänna integralen (60) sätta
9, 8, (z) +p, 8, (&)+...+p, S, (2) =K P(x).
Q(x) är, på en konstant faktor när, den enda funktion af hel karakter, hvilken förmår satisfiera likhetssystemet (59). Uti detta system måste dà nöd- vändigt R(x)=—-K R (a). Af denna orsak är den rationela funktionen R (2) också särskildt anmärkningsvärd.
11. Enligt de föregående undersökningarne svarar emot hvarje funktion S (x) af formen (37) en rationel funktion Z(z), hvilken har samma nämnare som r (x) och i hvilken gradtalet för täljaren icke är större än u—1, och för hvilken likheten S (x + 1) 2 r (x) S(x) — R(x)
eger rum. Omvändt motsvaras också hvarje rationel funktion R (x) af den antydda beskaffenheten af en enda funktion af formen (37), hvilken satisfierar denna likhet. Det återstår ännu att angifva, huru den ena af dessa funktioner skall bestämmas när den andra är gifven.
Låt oss först antaga, att S (a) är gifven och att R(x) skall bestämmas. Emedan nämnaren i R(x) är lika med v, (x), så gäller det blott att bestämma täljaren Rx). Låt « vara en punkt, i hvilken hvarken S(x) eller S(x +1) blir oändligt stor. Utvecklas nu r, (x) ,r, (x), S(x) och S(x-+1) efter hela och positiva potenser af x — «, och ordnas uttrycket
RG)=r, (@)S(@)-r, @)S@œ+1) . efter växande potenser af z — e, så veta vi på förhand, att koefficienterna för de potenser, hvilkas exponenter äro större än «— 1, måste blifva lika med
40 Es NEBEN:
noll. Om vi således af den erhållna utveckligen bibehålla blott de termer, i hvilka exponenten för z —« är —u-— 1, så ha vi erhållit den hela rationela funktionen R (x) utvecklad efter potenser af v — «. SNättes
8 (x) 2 A, + A,(r— e) t... DA (z— a)", så är uppenbarligen
ee
( SA +1 + 1 „® a -(r 98D Le 9 ED, 8 Osten)
Har man på detta sätt för elementerna
8, (x), 8, (2), ..., S, (æ)
i ett fundamentalsystem af partikulära integraler till systemet af funktional- equationerna (53) bestümt de motsvariga funktionerna
TOC E (MG or R, (x),
så är den rationela funktion (x), som svarar emot en annan godtyckligt gifven partikulär integral S (x), bestämd genom likheten
R (x) =p, RE, (@)+P,R,®)+...+P,R,®), om p,;,p,,...,p, är det värdesystem fór hvilket likheten
SAGE RIS [r) posa) ecc JR)
eger rum. Detta värdesystem p erhålles, enligt hvad $ 6 lätt gifver vid ‚handen, genom lösningen af ett system af « lineära likheter.
Är R(2) gifven, så är den motsvariga funktionen S (v) omedelbart be- stämd genom likheten
SS R (x 4- v)
ir (x) v (x + 1)...r(@+n)
Här uppträder dock icke S (x) under partialbräksformen. Har man emellertid för ett fundamentalsystem, hvars elementer
8, (2), 8, (2), .., 8, (2)
Om en my klass af transcendenta funktioner. 41
äro gifna under partialbràksformen, bestämt de till de resp. elementerna hó- rande rationela funktionerna |
du (z), R, (x),...,2, (2),
så kan alltid S(z) genom lösningen af ett system af u lineära likheter brin- gas under partialbráksformen. Man har nemligen likheten
S (x) =D; 5, (x) * 5. 5, (x) Ar Doc EDS (x), om p,,P,,-..,P, Ar det värdesystem, för hvilket likheten
R (x) —p, B, (x) + p, R, (x) +... +p, R, (2). eger rum.
12. Efter det, som senast framstälts angàende systemet af funktional- eqvationerna (53), är det icke nódigt att särskildt genomgå lösningen af de nyss behandlade problemen, när det gäller det allmännare systemet af funktio- naleqvationerna (59). Det bör dock anmärkas att lösningen af problemen i detta fall förutsätter, att P(x) samt den emot P(x) svarande rationela funk-
tionen R° (x) äro bekanta, hvilket åter kan anses vara fallet, så snart samt- liga konstanter A uti partialbräksformen för P(x) äro bestämda. Hvad nu dessa konstanter A beträffar, så ha vi uppvisat, att desamma kunna beräknas med tillhjelp af r skilda system rekursionslikheter af formen (26), motsvarande de r addenderna i
(62) Pr) — P(z;0)+ P (z;.- 1995. (x; a);
Dessa rekursionsformler lemna dock samtliga konstanter i första termen af hvarje addend obestämda. Vi måste nu angifva ett medel att också bestämma dessa konstanter. Vi utgå ifrån de för konstanterna .4 i $ 5 uppstälda inte- graluttrycken. Betecknas den logaritmiska derivatan af F(x) med P(x) samt den logaritmiska derivatan I” (x) med # (x) så är uppenbarligen
(63) P(r)=-0+u, v(x—-a)+u, v (x — a)+...+u,.v(x-—a,) —vv(r-b)-v,v(x—b)—...—v,v(x— b). För w(x) har man åter den bekanta partialbräksserien
UAR 1 yop | «9)e-c-iH(1- Lu) oz
49 Hs. MELLIN.
der C betecknar den MascHEroniska konstanten. Lät P(x;a,) vara en af addenderna i P(x) och låt oss för korthetens skuld sätta
(0,0)
= ÅA 5 om TE
Genom partiel integration erhålla vi nu först ur
Mo 5
1 2m s A =, | Flat re") (ren "dt
likheten 27
1 1 i , i | i —+ (64) A er) „| (a, t re 3 Plone Me 0
lo Insätter man uti likheten (63) a tre i stället för z, så uppträder i högra membrum termen LAO e''). Insättes i stället för denna term det dermed lika värdet
u it E. T (lo v (1 Je ae )
^e |
så kunna numera alla i högra membrum förekommande termer, med undantag
t ss it = it af — €, utvecklas efter hela och positiva potenser af re. Für P(a + re) re
‚erhälles sälunda en serie af formen
4 u : ; a (65) De e") mL + a + C, + (CEA ” +... + s (r e D +..., re , i hvilken koefficient ©, har värdet a NO m - (2) (66) C. = > tig Ÿ (a, ze > V6 Ÿ (a, — b), 0—1 0—1 der P (4)
utmärker att den term hvari 6 — 9 bör ersättas genom qu, v (1 Gör man uti likheten (64) bruk af (65), i det man observerar att
Om en ny klass af transcendenta funktioner. 43
(L^
27 "i ARR M e [F@+re )(re 0
für h=w,+1, u,+2,..., Så fås efter en obetydlig omflyttnig
Y
m EGENT ie Pp ey
(67) k Au =(e+() Aut +0,4
Ug—kt2
Sättes uti denna likhet k=1,2,..., u,— 1, så fås följande rekursionsformler
Ai = (« + C.) A
OT En Ko Y C, C, (68) 38.4, ,=(e + 0) Ånga + rg 4e [2 4 ES C, C, Cu (wu, -- 1) vile = (« + C.) Ar + [I A, + a Ar T... uer Ee i hvilka (69) Au, = lim (x — aj) * Fix)= ZA
Ia, mo P a, c D 1e" (a, = 4e) DEN MC 2309) :
Ga — b) I"*(a. L5).9 I^'(a, — 4,)
13. I det föregående ha vi inskränkt oss till att för fallet | M| — 1 framställa blott det allmännaste af teorin för de nya transcendenter, till hvilka vi kommit genom att söka besvara de i början af $ 4 uppstälda frågorna. En väsendtlig del af teorin utgör emellertid studiet af vissa lineära differen- tialeqvationer, hvilka stå i ett nära samband med „gammafunktionerna“. I första delen af denna afhandling har beskaffenheten af detta samband blifvit antydt genom ett specielt exempel. Framdeles skall jag gifva en utförligare framställning af ämnet.
Uti en uppsats med titeln En grupp af transcendenta funktioner, hvilka besitta egenskaper liknande den, som tillkommer det reciproka värdet af den oändliga produkten lla Tq x), hvilken snart utkommer i Öfversigten af Sv.
n—0
Vet. Akademiens Fórhandlingar, har jag uppvisat, att gammafunktionen icke
44 Hs. MELLIN.
är den enda funktion, hvilken kan behandlas i enlighet med den i det före- gäende använda metoden och ur hviken man dä kommer till nya med funk- tionen beslägtade transcendenter. De i den anförda uppsatsen behandlade funktionerna höra till en klass af transcendenter, hvilka besitta egenskapen ze vid den lineära substitutionen (v , qa)
ändra sitt värde i enlighet med likheten
S (q 2) =" (2) 5 (2) — R v), der r (x) och R (x) äro rationela funktioner, under det att de i det föregående undersökta funktionerna vid den lineära substitutionen
| (v, o 4-1)
ändra sitt värde i enlighet med likheten,
S (x 4- 1) 2 (OS) — R (x).
Utgångspunkten för undersókningarne utgjordes i hvartdera fallet af frà- gan, huruvida man uti en partialbräksserie, hvars oändlighetsställen voro på fór- hand angifna, kunde bestämma oändlighetsställenas konstanter på ett sådant sätt, att serien komme att ha den önskade egenskapen. Man kan åt undersökningar af denna natur gifva en betydande omfattning genom att låta den förutsätt- ningen falla att oändlighetsställena äro på förhand angifna, och i stället utgå ifrån en partialbråksserie af formen
(n) (n)
A A
S (x) = 3 S u, Ben ue pe ,
n=0 \(æ — a 205 (© — a, ya € —4, hvari såväl oändlighetsställena som dessas konstanter och ordningar tills vidare lemnas obestämda, samt undersöka, huruvida dessa kunna bestämmas på ett sådand sätt, att S (x) vid den lineära substitutioner ya) | À ur) kommer att ändra sitt värde i enlighet med likheten
= al = r (x) S (x) — R (x),
der r (x) och RB (x) icke IAM CE behöfva beteckna rationela funktioner. Också till denna fråga skall jag framdeles återkomma”).
*) I första delen af denna afhandling har ifrån första likheten på näst sista sidan termen R (x) i följd af ett förbiseende utelemnats, hvilken felaktighet härmedels rättas. R (x) betecknar, i likhet med 7, ,7, ,...,7,, en rationel funktion.
RECHERCHES
SUR
L'ÉQUATION DE KUMMER
E. GOURSAT
A TOULOUSE.
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Recherches sur l'équation de Kummer, par E. Goursat, à Toulouse.)
Le probléme de la transformation des séries hypergéométriques a été posé dans toute sa généralité par Mr. Kummer. Dans un Mémoire celebre (Journal de CRELLE, tome XV), il a montré que la question se ramenait à la recherche des intégrales algébriques d'une équation différentielle du troisième ordre, à la quelle son nom est resté attaché, et il en a déduit un grand nombre de ré- sultats intéressants. Depuis le beau Mémoire de Rremanx sur les fonctions hypergéométriques et le travail de Mr. Scuwarz sur les cas d'intégration algé- brique (Journal de BORCHARDT, tome 75), cette équation a été étudiée par un grand nombre de géomètres, notamment par MMr. Cayrer, Krem (Mathe- matische Annalen, Band XII, pag. 167 et 503. — Band XI, pag. 115) et Bmrosom (Mathematische Annalen, Band XI, pag. 111 et 401. — Annali di Mathematica, tome X, 2" Série, page 111. — Comptes- Rendus, tome XCIII, page 941. Les Mémoires que je viens de citer ont surtout en vue les cas examinés par Mr. Scawarz. La méme équation s'est présentée à un point de vue un peu différent dans des recherches de Mr. HaALPHEN (Comptes-Rendus, 13 Juin 1881) et de Mr. Bmrosemr (Annali di Mathematica, tome X, 2°" Série, page 233).**)
J'étudie dans ce Mémoire les intégrales de l'équation de Kuwwrn qui sont des fonctions rationnelles de la variable en me placant à un point de vue tout-à-fait général. J'avais déjà traité dans un travail antérieur une question qui n'est qu'un cas particulier de ce probleme (Annales de l'École Normale, tome X, 2°" Serie. Supplément.) Dans la première partie, j'établis par deux méthodes différentes quelles doivent étre les propriétés d'une fonction rationnelle pour qu'elle soit une intégrale de l'équation de Kummer. La seconde partie est consacrée à l'étude du probléme d’algebre auquel on est conduit, et j'ob-
+) Un résumé de ce Mémoire a paru dans les Mathematische Annalen, Band XXIV.
++) Voyez deux Notes récentes de Mr. Krxiw sur une équation analogue à l'équation de Kummer: Ueber gewisse Differentialgleichungen dritter Ordnung. — Berichte der K. Süchs. Gesellschaft der Wissenschaften, 29. Janvier 1883. — Mathematische Annalen, Band XXIII, page 587. Voir aussi un petit travail de Mr. Otto FiscHer: Ueber conforme Abbildung gewisser sphärischer Dreiecke durch algebraische Functionen. — Berichte der K. Sächs. Gesellschaft der Wissenschaften, 1884.
48 - E. GouRsAT.
tiens ce résultat qu'en dehors des cas oü lintégrale générale s'exprime au moyen de fonctions algébriques ou de fonctions doublement périodiques, il n'existe qu'un nombre limité d'intégrales rationelles. La troisieme partie con- tient le calcul effectif d'un certain nombre de ces intégrales; enfin, dans la derniere partie, je fais quelques applications et je montre en particulier com- ment on peut étendre le probléme aux fonctions hypergéométriques d'ordre su- périeur.
I. [L] Soit d'y dy (1) FD. (es
une équation linéaire du second ordre à coefficients rationnels et à intégrales régulières, et y,,y, deux intégrales particulières formant un système fonda- mental. Posons
| d y, 9. de | / E % de | Buzz - 7 d a
(2) INE0C , et inversement (3) |” da. dx” dz,
y, | d'y, dy,
| er cg
? FN ENS
On dira qu'un point z — « est un point ordinaire pour l'équation (1), si l'inté- grale générale est holomorphe dans le domaine du point a et si de plus le déterminant D est différent de zéro pour rz — a. Il suit de là qu'on pourra trouver deux intégrales particulieres de l'équation (1) qui, dans ce domaine, auront les formes suivantes
2 ST 0 0) tuna pue (4) | Y,—(u—2) +, (c— a...
et inversement, s'il existe deux intégrales de la forme (4), le déterminant D ne
Recherches sur l'équation de Kummer. 49
sera pas nul pour æ — a, et les formules (3) montrent que les coefficients p et q sont continus dans les environs de ce point. La réciproque de cette pro- priété résulte du théorème fondamental de Mr. Fucns sur les équations linéaires.
Si l'un des coefficients p, q n'est pas holomorphe pour æ = a, le point æ = «a sera un point singulier pour l'équation (1). L'intégrale générale sera en général discontinue pour z- 4; mais il pourra cependant arriver que, cette intégrale ne cessant pas d'étre holomorphe dans le domaine du point a, le déterminant D soit nul pour cette valeur de x. Dans ce cas, le point x = a est, suivant l'expression de Mr. Wererstrass, un point singulier apparent. Dans ce qui précéde et ce qui suivra, on devra remplacer partout x — © par
1 f : PE il sera convenu qu'on regarde toujours le point z — o» comme un point
singulier pour léquation (1).
Il eonvient maintenant de faire une distinction qui est essentielle pour la suite. Soit r— « un point singulier de l'équation (1); je dirai que ce point appartient à l'une des classes suivantes, d’après les propriétés des racines r,?", de l'équation déterminante fondamentale, relative à ce point:
1” sila différence r —7' n'est pas un nombre entier ou si, cette diffó- rence étant un nombre entier, l'intégrale générale contient un logarithme dans le domaine du point critique, le point æ = a sera dit point singulier de premiere espéce;
2" si la différence r —»' est un nombre entier supérieur à l'unité, sans que lintégrale générale contienne de logarithme dans le domaine de ce point, le point z = « sera dit point singulier de seconde espèce;
3° si la différence r —?' est égale à l'unité, sans qu'il entre de lo- garithme dans lintegrale générale, le point z — « sera dit point singulier de la troisième espèce.
Il ny a pas lieu de distinguer le cas où on aurait r — 7 — 0; on sait en effet que dans ce cas lintégrale générale contient toujours un logarithme. Il ny a pas lieu non plus de faire de distinctions nouvelles pour les points singuliers apparents, qui sont des cas particuliers des points de la seconde ou de la troisieme espece.
Le róle particulier que jouent les points singuliers de la troisieme espece tient à cette propriété: on peut toujours les faire disparaitre par un change- ment de fonction tel que
y = q (2) 2. Soit en effet + — « un point de cette nature, et r,r + 1 les exposants de 7
50 E. GOURSAT.
*
discontinuité relatifs à ce point. Dans le domaine du point a, on aura pour l'équation (1) les deux intégrales
y, (2 — a) + e, (o — a) .. J, r+1/f y-(r—a) (+6,(œ—a)+...};
si donc on pose y = (x — a) u, l'équation en « admettra les deux intégrales particulières uw, =1+a (æ—a)+... u,—(e—2)- Be — a)...
et par suite, d’après une remarque antérieure, le point æ — « sera un point ordinaire pour la nouvelle équation en w. De plus il est clair que, si un point z — b est un point ordinaire pour l'équation (1), il en sera de même pour l'équation en w, en exceptant toutefois le point z — o». En continuant de la sorte, on arrivera à débarrasser l'équation proposée de tous ses points singuliers de la troisieme espece; tous les changements de fonction successifs peuvent se ramener à un seul
i=n
y=u][(x- a), 1—1 où 4, 4,...G, sont ces points singuliers et v,,v,...7, les plus petits expo- sants de discontinuité correspondants. Plus généralement, tout changement de fonction tel que le précédent ne peut modifier que le nombre des points singu- liers de troisième espèce, que l'on peut augmenter ou diminuer à volonté, sans rien changer aux autres, saufau point y — o». Un changement de fonction ana- logue au précédent peut toujours ramener les points singuliers de la seconde espece à des points singuliers apparents. J'aurai aussi à faire usage des propriétés suivantes, qui résultent bien simplement des définitions. Si une équation du second ordre n'a que des points singuliers de la troisieme espece, on pourra la ramener à la forme
2 du = = 0, da et lintégrale générale sera par conséquent
y= Il (x — a) (C + C'2).
1—1
Plus généralement, si une équation du second ordre n'a que deux points
Recherches sur l'équation de Kummer. 51
singuliers de la première espèce et un nombre quelconque de points singuliers de la seconde et de la troisième espèce, l'intégrale générale s'exprime au moyen de symbôles élémentaires.
[2] Considérons une seconde équation analogue à l'équation (1)
| dv dv + p-—— Hv (5) Jm di | ou P et Q sont des fonctions rationnelles de /. On peut toujours, en posant: c = q (D), v —wy, où p et w sont des fonctions de t, passer de l'équation (1) à l'équation (5). En posant x — q (f), l'équation (1) devient:
1 d ) a" da y «P | y
AE — gem HAUTE d t He ble.
,
73
d'g
eu
WR Ba ttp en appelant x’, ” les dérivées — P
q . > en posant v = 2 y, l'équation (5) devient dt dt
2
d 1 d 3 we ^ +(Pw+2 DE + (Quo + Puw'+w") y = 0. a a
On devra done avoir:
" , y
^ 22 = 06 e ) (6) pa = TRE à ur ped (7) He a E + Q.
L’elimination de ? conduit à une équation du troisième ordre
a" 3 [a^ uU v LPO 2 (8) 3l] 759-22) 4-2 9-375;
Si cette derniere équation admet une intégrale rationnelle, l'équation (6) mon-
, w . . B H ^ B ,; : tre que, sera aussi une fonction rationnelle de £ et l'intégration de l'équation (5) sera ramenée à l'intégration de l'équation (1).
[3.] Le but de ce travail est de rechercher les intégrales rationnelles de l'équation (8) lorsque les coefficients p, q, P, Q ont les formes suivantes:
59 E. Goursar.
0 6 AT BIT EC DID EU = > ? x 1 æ (x — 1)
DNE VEHI TIE BG" SER DEN qu pn ap
les équations considérées sont alors
B d d 5 (9) x (x ie e 92 o]z(o- 07 + (Aa Bat €) y — 0, a
(19) Fl)" e [er 46)t—9 Jen t (A Bt C)v=0,
et l'équation (8) correspondante devient:
qun 2 + l-v)e+@+V -u-N)ztıi Ns à “4 x
Le 2g i je £ (x — 1) (11) | ee of af) + (127) 2 F1)
2 2 2 2 2 2 . À, u, v, X, w, v ayant les valeurs suivantes:
à—(9—1)—40, w-(c—1)—4(At* B4 CO), v=(0+6-1)—4 4, A —(0—1)—40, wz(o—1)—4(4 B 0). vu=(or0. 1) AM
Il est aisé de trouver la signification de ces quantités: 2, par exemple, est égal à la difference des racines de l'équation déterminante fondamentale de l'équation (9) relative au point critique z — 0, et les autres quantités ont des significations analogues.
Les équations (9) et (10) sont caractérisées comme on sait par cette pro- priété d'avoir toutes leurs intégrales régulières et de n'admettre d'autres points singuliers que les points O, 1l, oo, toutes les autres valeurs de z étant des points ordinaires. C’est au fond la definition de Rızmann, légérement modifiée pour qu’elle se prête mieux à l'étude de la présente question. Supposons que l'équation (1) admette une intégrale rationnelle x = q (t); si dans l'équation (9) on fait le changement de variable z = q (f), on arrive à une nouvelle équation du second ordre i
(12) 2n
d'y tre Se” 0, di TP, DS
dont les coefficients seront rationnels et qui aura aussi toutes ses intégrales
Recherches sur l'équation de Kummer. 53
régulières. D'autre part, on pourra passer de léquation (10) à la nouvelle équation (12) en posant v — wy; on devra donc avoir
, w 2 w ws a = La et par suite DC 2 , expression qui est de la forme i—n " w — ll (t£—2)'
Or nous avons remarqué au premier paragraphe qu'un pareil change- ment de fonction ne peut modifier que le nombre des points singuliers de troisième espèce; de sorte que l'équation (12) ne devra avoir que des points singuliers de cette nature, outre les points 0, 1, o». Inversement, si cette condition est remplie, on sait qu'on pourra, par un changement convenable de fonction, faire disparaitre de l'équation (12) tous les points singuliers de troi- sieme espèce et par suite être ramené à une équation de la forme (10). La fonction q (£) sera donc une intégrale de l'équation de Kummer, pour des va- leurs convenables de 2', u', '. En définitive, le problème qu'il s'agit de traiter est équivalent à celui-ci:
Quelles doivent être les propriétés de la fonction rationnelle q (t) pour. que l'équation (12), que l'on déduit de l'équation (9) par le changement de variable v = q (8), ne possède, outre les points 0, 1, ©, que des points singuliers de troisième espèce?
[4] Soit a une valeur de /, différente de 0, 1, o» et soit b la valeur correspondante de ©; deux cas sont à distinguer suivant que la valeur 5 est elle-même différente ou non de 0, 1, o.
1" Cas. Supposons que b soit différent de 0, 1, ©. Dans le domaine du point x — b, l'équation (9) admet les deux intégrales particulières distinctes :
y=l+a(@-b+: =D + e
Soit m l’ordre de multiplicité de la racine £ — « de l'équation q (f) — ^; on aura
Yu
z—b-y,(t—a) 4 y, (£— a ud
oü y, est différent de zéro, et l'équation (12) admettra dans le domaine du point a les deux intégrales particulieres distinctes:
54 E. GOURSAT.
dies de OM (t— a) +: ^ UN ( — q) + &, (é = a s SEINS
Si m est supérieur à l'unité, le point /— « sera un point singulier de deuxième espèce pour l'équation (12) et un point ordinairesi »- 1. On voit donc que £— a devra être racine simple de l'équation q (f) = 5.
2"" Cas. Supposons que b ait l'une des valeurs 0, 1, oo. Prenons par exemple 5 — 0; le raisonnement est tout-à-fait général. Soient r, r’ les racines de l'équation déterminante fondamentale de l'équation (9) relative au point æ — 0; il est clair que l'intégrale ne devra pas contenir de logarithme dans le domaine du point x — 0, car l'intégrale générale de l'équation (12) en con- tiendrait aussi dans le domaine du point /— «a, qui ne pourrait être dans ce cas un point singulier de troisième espèce. L’equation (9) admettra les deux intégrales particulières
ANI 2 \ g,—m buemeuw-L A
?
Y,= m4 1 + ß, x + P, ge
si m est le degré de multiplicité de la racine {= « de l'équation q (2) = 0, on aura, dans le voisinage de cette valeur de t,
g — y, (t—a) 4 y, (t— aye en où y, 0,
et l'équation (12) admettra, dans le domaine du point /— a, les deux intégrales particulieres y,= (t— a” +8, (a) +
gi (i ES aj" + CA (t — a) + =D j^
On voit que le point é— « sera pour l'équation (12) un point singulier de première ou de seconde espèce, à moins que la différence mr’— mr ne soit égale à l'unité. Il faudra donc que v'— soit l'inverse d'un nombre entier supérieur à l’unité*). Si a est une autre racine de l'équation g (/) = 0, diffé-
wl rente de 0, 1, oo et»/ son degré de multiplicité, on devra avoir aussi uum et par suite m= m. Le méme raisonnement s'applique aux racines des équa- tions q (f) — 1, q (f) = o», et, en résumé, pour qu'une fonction rationnelle q (£)
+) Jai omis à dessein de parler du cas où on aurait 7—7 — 1. Dans ce cas en effet, si l'inté- grale générale ne contient pas de logarithme dans le domaine du point æ—0, ce point est un point singulier de troisième espèce. L’integrale s'exprime au moyen de symbóles élémentaires, et le pro- bléme auquel on serait conduit parait dénué de tout intérét.
Recherches sur l'équation de Kummer. 55
puisse étre une intégrale de l'équation de Kummer (11) il faut et il suffit qu'elle possede les propriétés suivantes:
1" Pour toute valeur de b, différente de 0,1, co, les racines de l'équation. qp (1) — b, qui ne sont ni 0, ni 1, ni co, sont racines simples.
2. Les racines des trois équations & (f) 2 0, « (f) 2 1, (t) 2 o, qui ne sont ni O, ni 1, mioo, sont racines multiples, au même degré de multiplicité pour chacune d'elles.
Etant donnée une fonction rationnelle jouissant de ces propriétés, les va-
, s . . .
leurs correspondantes de A, u, v, X, w, v, s’obtiendront comme il suit. Si l'équation q (/) 2 0 admet une racine multiple d'ordre m qui ne soit ni 0,
ni 1, ni o, on devra avoir A= jg? Si aucune des racines de cette équation
n'est différente de 0, 1, ©, 2 n'est assujetti à aucune condition. On trouve de méme « et v. Une fois A, «, v convenablement choisis, 4’, w', v' s'obtien- dront par des considérations analogues; par exemple, si l'équation œ (7) = 0 admet la racine / — 0 au degré 7 de multiplicité, la différence des racines de l'équation déterminante fondamentale de l'équation (12) relative au point cri- tique / —O sera rA et, comme cette différence ne change pas quand on passe de l'équation (12) à l'équation (10), on aura aussi A= v; Le raisonnement est du reste tout-à-fait général.
[5.] On arrive aux mêmes conclusions par une étude directe de l'équa- tion (11). Posons
(1—7)z- (^rv—-w-12-1-X »
x" 3 x” Ak Il (a) = a >= als | 9 a* (o: HS 0 o3
et soit d (/) le résultat obtenu en remplaçant dans I[(x) x par une fonction rationnelle œ (/). Proposons-nous de rechercher dans quels cas ce résultat sera de la forme
LÉ+Mi+N. DP ODE
P (f) est évidemment une fonction rationnelle, qu'il suffira d'étudier dans le voi- sinage de ses pôles. Soit a une valeur différente de 0, 1, ©; le point {= a pourra être un pôle de 4 (/) si la valeur correspondante 5 de x est l'une des valeurs 0, 1, o», ou bien si £— a est racine multiple de l'équation q (f) = b.
56 E. GO URSAT.
Prenons d'abord cette dernière hypothèse, et soit m le degré de multiplicité de la racine a. Dans le voisinage du point £— «a, on aura
c —b-—(t— ay [A+ A, (£— a) + A, (t a) +..], où 4, 0, s (1-0) m A+ (m+1) A (79) +] = (t — a) [m (m — 1) A,+ (m + 1) m A, (t — a) Le] a" — (t — a)" [m (m — 1) (n — 2) A, + (m + 1) m (m — 1) A, (£ — a) +]: Par suite
a" — 1 pm (m — 1) (m — 2) A+ (m + 1) m (m — 1) A, (t£ — a) = | m A+(m+1) A,(£ — a) +... à
et, en calculant les premiers termes du quotient,
=” (m—1)(m—2) 2(m’-1)4, 1 a
= (£— ay T7 mA "RIPE (t — a) +:
On trouve de méme
(44
DEN — d mede m ur eae
,
ven
CE (m— 1) 2(m—1)A, 1 12 (ea mA, ae c a?" 3 a" 2 Dans le voisinage du point t=2a, 36 ) sera done de la forme (m—1) (m—1)A4, 1 9(t—ay mA, TEM eA Oo
ay ana ale ne 2
D'autre part, l'expression SERT S nx — - nein) x” reste
2 a" (a: — 1) finie pour /— a; de sorte que le point £ — a sera un pôle pour d (f), à moins que l'on n'ait m=1, c'est-à-dire que a soit racine simple de l'équation q (f) =D.
Supposons en second lieu qu'à la valeur a de £ corresponde pour x une des valeurs 0, 1, o», par exemple z — 0. Soit m le degré de multiplicité de la racine a de l'équation q (£) 2 0. Dans le voisinage du point t=2a, on aura, comme nous venons de le voir,
Recherches sur l'équation de Kummer. 51
x” 3 12) m^— 1 (m’— 1) A Air 1 | —Q(t—-ay m A, penu dut 11 (é— a) 4---
on a aussi
X
(1—2*) z^ (Xr y w’—1) zb ” „ 1-X E Ou or 2 2" (x — 1) s 2 x ©
— z T = — y 000 Si m est plus grand que 1, tous les termes du second membre à partir du second restent finis pour {= a, et on a
^?
a m“ 2mA, 1 Hans AR et
"n
3 d 1 Les termes qui contiendront JU dans ® (f) seront par conséquent
2
oun. 1 m À 1 1 2 E en E nes ee Ies A |: );
\
pour que le point 2=a ne soit pas un pôle pour (£), il faut et il suffit que v MS. N | : lon ait 4 ——;. Le méme raisonnement s'applique si à la valeur a de £ cor- m 1
respond la valeur z — 1. Enfin si, pour £— à, on à X= oo, nous poserons:
, " LE m ^ ult 13 bt Éd 2 dies 2 ET RE q-——gq———qX-—— 2:12 — et be 4 2 £ e 2 & 2
et II(x) devient
Z 85g (01—2)zr-(Q-rvy—w-—l)erl—-w , pe 7 + 2 2 2 2002 P ) 2 2 (e— 1) :
expression de méme forme que la première, sauf la permutation de 2 et de v. Par conséquent si, pour £— 4, on a z-— 0, a devra être racine multiple
1 d'ordre p (p— 1), et on devra avoir en méme temps v'= p
. > . . . 97 . = 3 x . . Si £— a était racine simple de l'équation q (1) = 0, ; = serait fini \ pour £— a et l'expression
(1—2*)2^ (^ r»—w—1z-1—-2A a 2g (r—1y
58 E. Goumnsa T.
admettrait le pole 4 — a, à moins que l'on n'ait à la fois 4^— 1, u^— v^; c’est le cas singulier qui a été laissé de cóté.
Nous trouvons donc pour q (/) les mêmes conditions que par la premiere méthode; on peut voir aussi directement que ces conditions nécessaires sont suffisantes. En effet, si elles sont remplies, < (f) ne pourra devenir infini pour aucune valeur finie de /, sauf pour les valeurs O et 1, et le calcul déjà fait montre que ces points ne pourront être que des poles du second ordre. On aura done
v (0)
AU
w (f) désignant une fonction entière de /. Si maintenant dans la relation
Se ee): FC
079033 3 ji (eras e detto) ein a bt) ©
1 : on pose /— "m elle devient:
au; dw 3 | lie DANCE RE AE (( 1 )
22^ (y —1y
du u) \u—1
Le premier membre de cette relation est analogue à IL(x); par suite 4 = 0 doit étre un póle du second ordre; ce qui exige que a» soit du second degré seulement et d (/) sera bien de la forme
Lt’+Mi+N are ou, ce qui revient au meme, de la forme Go) &- (^r v—- à^-1)t-1—27* 2 P(t—1y Le calcul de 2, w, v par cette méthode s'effectue aussi sans difficulté.
Par exemple, supposons que £— 0 soit une racine d'ordre r de multiplicité de l'équation q (£) 20. Le point £— 0 sera un pôle du second ordre pour 4 (/)
1 1 et le coefficient de 7 sera, comme nous l'avons vu plus haut, 3 (1— 7727); d'autre
part, le coefficient de dans le second membre decompose en fractions
i &
Recherches sur l'équation de Kummer. 59
: 1 d NS : simples est (1— 27). On aura done 27— 7*4? comme nous l'avions déjà trouvé 9 ?
et on calculerait de méme w et +.
II.
[6.] La recherche des solutions rationnelles de l'équation de KuwwrR se trouve ainsi ramenée à un probléme d'algébre. Ce probléme peut lui-méme être subdivisé en plusieurs cas particuliers de différentes façons, suivant le point de vue auquel on se place. La distinction la plus importante est celle-ci; il peut se faire que les valeurs de x qui correspondent aux valeurs 0, 1, co de £ soient elles-mêmes parmi les valeurs 0, 1, ©, de sorte que l'équation (10) ait réellement les trois points singuliers 0, 1, co. C’est là le cas général que nous allons d'abord étudier. Soit z — q (f) une fonction ration- nelle répondant à la question; désignons par P, Q, R trois fonctions entières de £ sans facteurs communs, ni facteurs multiples, n'admettant pour racines ni 0 ni 1, et par x,, z,, =, trois expressions de la forme /"(£— 1) où r et s sont des nombres entiers positifs ou nuls. On aura, d'apres les propriétés de la fonction q (t),
7T, T 4 T, 3 Q' T = Re RN he z,. HR et par suite l'identité (13) a P"— x, Q"— m, R!
Soient m’, m, p les degrés respectifs des polynómes P, Q, R; m,n, p seront des nombres entiers positifs > 1, sauf dans le eas où le degré du polynôme corre- spondant serait nul, et nous avons vu que dans ce cas ces nombres étaient arbitraires. Je ferai remarquer en outre que les facteurs tet 1 — ne figurent que dans l'un des produits z,, z,, =, et que lun des trois termes de l'iden- tité est d'un degré inférieur à celui des deux autres, de facon que la valeur í— o» corresponde à une des valeurs 0, 1, o» de x.
A chaque intégrale rationnelle de l'équation de Kummer correspond une identité de la forme (13), mais la réciproque n'est pas vraie. Etant donnée une identité telle que (13), on en déduit une fonction rationnelle
T D
1
p z, RH
60 E. GOURSAT.
qui satisfait bien à la seconde des conditions du n° 4, mais rien ne prouve jusqu’ ici qu'elle satisfait aussi à la première, et il n'en est pas nécessairement ainsi. Par exemple la formule
(er 19 (EU Are ı)
est bien de la forme (13) et cependant la fraction rationnelle
EE T RESTE x 25 ne répond pas à la'question, car pour =, elle admet la racine double
(— 2. Plus généralement la fraction rationnelle
ES (t— Sum
ape (t — TE 2
où n est différent de »', admet une racine double pour la valeur de x qui
,
n correspond à la valeur = de £, quoique l'identité
un ( ed "I pu (é— )"j—-4 4 m (t — 1)* soit de la forme (13). Il en d. de méme de la fraction rationnelle
[P + ((- 1)" 4j m (0 1)" [re (0-1) eap mg iy]
où 7, désignent les racines cubiques imaginaires de l'unité, et on pourrait multiplier les exemples. Il y a donc lieu de rechercher à quelles conditions une formule (13) donne une intégrale de l'équation de Kummer. Soient N, N’, N” les nombres des racines des trois équations q (/)— 0, q (f) — 1, q (f) - o» qui ont une des valeurs 0, 1, oo, chacune étant comptée avec son degré de mul- tiplicité. On a entre ces divers nombres les relations évidentes
N+mm=N+nn =N"+py, N+N+N”>3; si l'identité (13) fournit une intégrale de l'équation (11), les divers nombres
M, "^, p, M,... vérifient en outre une relation que nous allons établir. Des expressions ci-dessus de x et de z — 1 on déduit
Recherches sur Véquation de Kummer. 61 P étant une fonction entière de t qui admet les deux expressions suivantes: pp" Ja Rm z, P+x P 2, P{pax, R +7. 8j = EA Rinz,Q-2,Q —2,Q (pz, R4 m, n| On en déduit:
(24) ur
x (x—1) E" PAIS
mais l'expression de P montre que P” est divisible par P" et par Q"; de méme, les facteurs / et (/ — 1)’ appartenant à l'un des produits zm, z,, z,, *P contiendra les facteurs 7^7, (£— 1)". Il en résulte que, dans tous les cas possibles, par la suppression de facteurs communs au numérateur et au dé- nominateur, on peut écrire
2
d a (14) G ;) M a (2)
Tuc)" Pe Dr v (f) étant une fonction entière de /. On obtient aisément une limite supé- rieure du degré de a (2) en remarquant que lintégrale générale de l'équation (14) est
/ v (t si le degré de a (f) dépassait 2 p' + 2, l'intégrale (7 hr dt serait infinie pour = o» comme /^ (c étant un nombre positif) et par suite le point £= oo serait un point singulier transcendant pour l'intégrale de l'équation (14). Si le degré de ^(f) est inférieur à 2 p'4- 2, la valeur £— o» ne pourra corre- spondre à z — o»; en effet si pour £= o» on avait
u
c étant positif et q, désignant une fonction holomorphe dans le domaine du point £— o» et finie pour ce point, le premier membre de l'équation (14) serait pour £— oo infiniment petit du second ordre, tandis que le second mem-
62 E GovumnsarT.
bre serait d'un ordre infiniment petit supérieur au second. Il faudra donc que pour é— co on ait soit z — 0, soit z— 1. Supposons par exemple qu'on ait z— 0. Appelons D le degré de multiplicité de la racine 7 — o» de l'équa- tion 9 (f) 2 0. et D' le degré de (0): dans le voisinage du point /— co, le premier membre de l'équation (14) sera infiniment petit d'ordre D +2 et le second membre d'ordre 2 p'+ 4 — D'. Par conséquent on aura D 4- 2 —2 p' 4- 4 — D' ou D'—2p --2 — D. Ainsi, en appelant D l'ordre. de multiplicité de la ra- cine t — © de l'une des équations q (t) 20, q (f) 2 1, le degré de a (t) sera 2p --2—D.
Les 2p+2—D racines de # (t) ne peuvent provenir que des racines des deux équations q (/ — 0, 9 (£ — 1. En premier lieu, l'expression de P nous montre que l'équation 4^ — 0 ne peut avoir aucune racine commune avec l'équation x, A — 0. D'autre part si pour une racine a de l'équation s (7) — 0, x avait une valeur finie b différente de zéro et de l'unité, on aurait pour cette
dx valeur de t ART 0 et par suite l'équation q(/)— 0 admettrait la racine mul-
tiple /— a. Nous voyons en outre que tout facteur de P figure dans # à la puissance m— 1 et par suite dans a à la puissance m — 2 et de méme tout facteur de Q figure dans # à la puissance » — 2. Enfin tout facteur ©, (6 — 1) qui appartient à l’un des produits x,,x, figure dans a à la méme puissance. En rapprochant ces diverses propositions, on en conclut que l'on a la relation
(15) N + (m — 2) m- N+ (n — 2) n= 2 p 2, à laquelle nous devrons joindre les équations
(16) | Nm m=N+nn= N+pp, | N+N+N”>3.
[7.] Réeiproquement, étant donnée une identité de la forme (13), où P, Q, R sont sans facteurs multiples et sans facteurs communs, et n'admettent pour facteur ni 4, ni #— 1, si les nombres m, n, p, . . . vérifient la relation (15), à cette identité correspond une intégrale rationnelle pour l'équation de Kummer.
m De : JE d : zb
Il suffit de répéter le raisonnement qui vient d’être fait. Posons x = E. et
DÀ
^8 reprenons l'équation (14); le polynôme v(/) ne peut, dans aucun cas, d’après ce que nous avons vu, étre d'un degré supérieur à 2 p+2. Mais d'après la relation (15) nous connaissons déjà 2 p'+2 racines de l'équation a (2) — 0 en considérant £— co comme une racine dans le cas où le degré de w (f) serait
Recherches sur l'équation de Kummer. 63
inférieur à 2p +2. Il suit de là que toute équation q (tf) =>, où b est diffé- rent de 0,1, o, n'aura que des racines simples, car une racine multiple de- da ge 0 et par suite à l'équation (f — 0. Le méme mode de raisonnement prouve que, si l'équation (15) est satisfaite, les polynómes P, Q, R n'auront forcément que des facteurs simples, car une racine multiple de l'équation P — 0 par exemple devrait appartenir à l'équation ap (£) — 0 à un degré de multiplicité supérieur à m — 2; ce qui n'est pas compatible avec l'équation (15). Les équations (15) et (16) entrainent les suivantes
vrait appartenir à l'équation
N + (m = 2) m 4- N"4- (p — 2) p=2n+2, N'+(n—2)n+ N'+(p—2)p=2m+ 2,
que l’on pourrait aussi établir en faisant porter le raisonnement sur les fractions
1 Iu positifs des équations (15) et (16) correspondent en général une ou plusieurs formules de la forme (13) et par suite une ou plusieurs intégrales de l'équa- tion de Kummer. En effet, désignons par 4 le nombre entier positif
rationnelles "ES A tout systéme de solutions en nombres entiers et
A=N+mm=N+nn=N"+py, degré de la fraction rationnelle à déterminer. L'équation (15) peut s'écrire A=m+n+p+1;
elle montre que, si l'on veut caleuler les polynómes P, Q, R par la methode des coefficients indéterminés, le nombre des équations sera précisément le méme que celui des inconnues. Comme on peut toujours prendre l'un des coefficients égal à l'unité, leur nombre sera m+n+pt2 et le nombre des équations sera 4+ 1; donc le problème est déterminé.
Remarque. Etant donnée une formule quelconque de la forme (05) 0 nous venons de voir que la somme N + (m-— 2) m+ N'4-(n— 2)» sera au plus égale à 2 p--2; le cas que j'ai en vue est précisément celui où cette limite supérieure est atteinte. Si on avait
N 4- (m — 2) m - N'4- (n — 2) w— 2 p4- 2 —2 6, ó étant un nombre entier positif, le probleme ne serait plus déterminé, car on
aurait ó équations de moins que d'inconnues. On conçoit donc l'existence d'une infinité de formules de la forme (13) qui ne répondent pas à la question
64 IBI CQOXUSRIS AT:
et qui contiennent un ou plusieurs coefficients arbitraires. Telle serait la for- mule
où » est différent de » et « un paramètre arbitraire. Nous reviendrons plus loin sur ces cas singuliers.
Le BA) rer: Gun e— 1)",
[8.] La discussion des équations (15) et (16) comprend plusieurs cas, dont les plus simples fournissent les transformations déjà connues de la série hypergéométrique:
1" Cas. Soit m=n—=p—0; on aura forcément N — N'— N"—1 et on retrouve les substitutions bien connues
Lqyiquip ae su D MER LEH %= WEM ERU re) m i
,
À,g,v peuvent être quelconques et X,w,v ont les mêmes valeurs, disposées dans un ordre différent. gem: Cas. Soit m HO n"=p=0. Les équations (15) et (16) deviennent: , p N + N'- (m — 2) m'= 2, N+mm=N=N', N+N+N’23;
elles admettent un seul systeme de solutions N=0, N=N’=2, et les iden- tités correspondantes se ramenent à la suivante
il / (17) (2 t = 1y— 1 = 4 t ( = I»: À = ls 9? il, un "o ps = u^ = u ; p^ = 4 v. Les transformations qui s'en déduisent ont été données par KUMMER
(Journal de Crelle, tome X V).
3"* Cas. Soit mt0, n 10, p —0. Les équations (15) et (16) devien- nent N 4- (m — 2) m+ N*4- (n — 2) w = 2,
N+mm=N+nn=LN”, N NCUEUNTEESS:
Elles admettent les systémes de solutions ci-dessous:
Recherches sur l'équation de Kummer. 65
m n m | n | N | N' | Ni ;
2 9 | . | m'+ 1 9 0 " m'4- 2 9 DEA T. | m’ a od 9 m -4- 1 ee MR ME 1 13
ou S | 2 1 Qc 4 20083. ..-8 Bod US Bu | 9 1 0 | 0 4
3 DEM 1 QE SQ 3
Supposons que dans l'équation (9) les exposants de discontinuité soient 1 | 1 pour x — 0, 0 et s et pour <=1, 0 et AR quand on fera dans cette équa-
tion le changement de variable z — (). une discussion déjà faite (n^ 4) montre que la nouvelle équation n'aura elle-méme que les points singuliers 0,1, oo et par suite sera de la forme (10). Il faudra donc que l'on puisse passer de l'équation (9) à l'équation (10) par un simple changement de va- riable. Cette remarque dispense de tout nouveau calcul pour ce cas, car j'ai traité complétement la question précédente dans ma Thèse (Annales de l'Ecole Normale Supérieure. 1881. Supplément), et j'ai montré que toutes les fonctions rationnelles qui satisfont à cette condition se déduisent des identités suivantes:
(18) [re t- T - [r- (— 0-46 e 1).
1 7 2 , v, AC Neal (1 - Yo") ON -vor-: [FT 27] - a - s... M 1 Ee 951 A a - NU
(20) (9:7—8)—(4—802—27 & (1—1),.
(21) (8£—361-4-27y— (9 — 8 ty— 64 P (t— 1) ..
1 1 ^ : Sure 2; 19 =. len v... A ma ut —a vg
9
66 E. GOURSAT.
(22) (26—8 f—831t-4- 2y—4(P—t 1/—- —27 à ((—1),.. il il
= T (ym Ty M. ste zum. Ays
(23) (64 #— 96 74-30 + 1) — (16 /— 16 2 - 1)°— — 108 #(1 — 0, . 1 1 2 [27 y^ 2
à—Xygug—tgav.. À ==
(C4) epus Hi) leo Dr
1 1 à—ty BE] yp... ”=7=r=r,
(25) (t--3y— (t 7y-33(43—1)t(1—2..
4e Cas. Supposons les trois nombres m’, w, p différents de zéro. Des équations (15) et (16) on tire la nouvelle relation (m — 3) m'+ (n — 3) *- (p — 3) p— 98 — (N+ .IN- NP), et par suite (m — 3) m'+ (n — 3) * - (p — 8) p 0. On voit done que, si les trois nombres m, », p sont supérieurs à 2, on aura forcément — n — p — 9, et N-- N' c N"-3. Les équations (15) et (16) de- viennent N+N+m+n=2p+2, N+3m=N+3n=N+3p; elles admettent une infinité de systémes de solutions, comprises dans les deux suivantes ; 9i—n-p-4319 Ne NEED NES; mien — po EN N, NG p étant un nombre entier positif arbitraire. Soit en second lieu m=n=2, p > 2; les équations (15) et (16) deviennent N 4 N'— 2 y 2, N+ 9 m Na 9 n'= NA pp, N+N+N"23.
Elles admettent encore une infinite de systémes de solutions tous compris
Recherches sur l'équation de Kummer. 67
dans le suivant n=h+m, N=p+1+h N=p+1-h N=p+1+2m+h-pp, m et p étant positifs et % un nombre entier positif ou négatif, choisis de telle sorte que »', N, N’, N” soient tous positifs, ce qu'on peut faire d'une infinité de manieres. Enfin supposons que l'on ait m=2, n> 2, pn. Les équations (15) et (16) deviennent N+N+(n— 2) n=2p+ 2, N+2m=N+nmm=N+ pp, N+N'+N">3;
La première peut s'écrire
, , , n RC EAS
ou, en tenant compte de la seconde,
, n n 2N' foc HN 5 Messen
et on aura par conséquent
(26) pp' « (2 p'+ 2) um
n
Comme on suppose #7 3, on aura = 9 < 3 et « fortiori
pp « 6 p 6,
inégalité qui n’est satisfaite pour aucune valeur du nombre entier p', sauf p=0, si p est égal ou supérieur à 12. Donc le nombre entier p ne peut dépasser 11.
Soit p — 11; l'inégalité (26) n'est satisfaite qu'en prenant » —3, p— 1. Les équations (18) et (16) deviennent
N+N+n=4 N+2n=N +3n=N +11, N 4 N' +N’>3.
Le seul système de solutions de la première équation qui donne N'+ 3 x > 11 est N — N'—0, n=4, et on aura alors N"—1 et par suite N+ N'4- N" « 3. Done on ne peut avoir p — 11.
68 E. GounsaAT.
Soit p = 10; l'inégalité (26) sera satisfaite en prenant p= 1, » — 3, et les équations (15) et (16) deviennent N+N+tn=4, N+2m=N+3»=N'+10, N+N'+N">3.
Les seuls systèmes de solutions de l'équation N+ N +m=4 qui donnent N’+3n >10 ont n=4, NNE) eto» 3 NO NER nys OM & dans les deux cas N+ N + N"—3. Donc on ne peut avoir p = 10.
Soit p — 9; l'inégalité (26) n'est satisfaite qu'en prenant n=3, p=1. On a à rechercher les solutions communes aux équations
IN ae JN de =E N+2m=N+3n=N'+9, N+N+N’23.
Les systémes de solutions de la premiere qui donnent N+3n>9 sont (n A, N=N=0),(R=3, N=0, N'— TI) (n 3, IN — TN 0) mas lesen derniers donnent N+ N'+ N"— 3. Le premier système satisfait seul à toutes les équations. Done on peut avoir p — 9, et on aura dans ce cas une solution unique
md, n=3, 99, m —06; nic 4 pub NENE0 NES)
Soit p—8; l'inégalité (26) n'est satisfaite qu'en prenant, & —3, p'— 1 ou n=3, p —2. Prenons n=3, p —1; les seules solutions de l'équation N+N+n=4 qui donnent N'+3#2>8 sont (w=4, N=N=0) (n=3, NEO N 1), (n=3, N-1, N 0), a2, N 0, N 2), mar les er: premiers seulement satisfont à la condition N+N’+N”>3. Si on pre- pait »— 93, p— 2, les seules solutions de l'équation N + N +n=6 qui donnent N +3n >16 seraient ("= 6, N — N'— 0) ou (n — 5, N — 0, N'— 1), mais aucune ne peut convenir, car elles donnent N 4- N'3- N"— 3. Ainsi dans le cas de p=8 les équations (15) et (16) admettant deux solutions:
mn | p | m In | N IN ING 1 1
Q2 Qo
co e» co He
Soit p — 7. L'inégalité (26) est satisfaite en prenant n=3, p<6 ou »-—4, p=1, Prenons d'abord n=4, p —1; le seul systeme de solutions de
Recherches sur l'équation de Kummer. 69
l'équation N+N+2n=4 qui donne N+4n 77 estn=2, N — N'— 0, mais on aurait N + N'+ N"— 1. Si on prend x —3, p=5, l'équation (15) devient N+N'+n=12 et le seul système que donne N'4-3» 235 est »— 12, N=N=0, mais il donne aussi N+ N'4- N"— 1. Si on prend n=3, p— 4 l'équation (15) devient N+ N'4- = 10, et les seuls systèmes de solutions qui donnent N'--3 » = 28 sont (n= 10, N — N'— 0) ou (v— 9, N — 0, N'— 1) mais il donnent aussi N+ N'4- N"—3. On discute de méme les cas de p=3, 2, 1 et on trouve sept systémes de solutions:
{ mn p No INGEN NG
12 |" FES KON NS
EENRS. 7973 m=2,n=3, p= 7; UN Eu - = i | : - E 6 4v NNMERO EON] 5173 Nee
"LET EX (SOS
[2421 21 ees
Soit p — 6. L'inégalité (26) est satisfaite pour » — 3, quel que soit p. Les équations (15) et (16) deviennent
N+N+n=2p+2, N+2m=N+3n=N+6p, N+N+N 23.
Elles admettent une infinité de systémes de solutions, par exemple m-— 3-429) m 9.9 - 9; N 7) 00 N 6.
L'inégalité (26) est en outre satisfaite en prenant # — 4, p— 1 et n — 5» p=1 Prenons » —4, p — 1, les seuls systémes de solutions de l'équation (15) N+N'+92n=4 qui donnent /V4- 4» Z6 sont (&— 2, N=N'=0) ou (w— 1, N=0,N=1), mais on a dans les deux cas JV + N’+ N”<3. Prenons »— 5, p=1; le seul systeme de solutions de l'équation JV + N'+3 »— 4 qui donne N'+5n2>6 est (n=1, N=0, N’=1) mais on aurait /V"— 1 et par suite N+N+N"<3.
Soit p — 5. L'inégalité (26) est satisfaite pour n = 3, quel que soit p'; les équations (15) et (16) deviennent :
10 E. GouRsaAT.
N+N+n=29p+2, N+2m-=N+3n-N"+5 pp, NEN MEST elles admettent une infinité de systémes de solutions, par exemple m=3p+3, n=2p+92, N=N=0, N’=p+6.
L'inégalité (26) est en outre satisfaite en prenant » — 4, p'— 4 ou n — 5, p=1. Prenons » —4, p=3, la seule solution de l'équation N+ N+2n=3 qui donne JV 4- 4x 215 est &— 4, V = JY'— 0, mais on aurait JV + N'+ IV" — 8. Prenons » —4, p— 2; les seules solutions de l'équation JV 4- V 4- 2 — 6. pour lesquelles on ait W'+4» > 10 sont n=3, X — IY — 0), (n=2,N=0, N=2), mais elles donnent M + N + N'<3. Soit enfin n — 4, p — 1; les équations (15) et (16) deviennent
N+N+2n=4 N+2m=N+4n=N’+5, N+N+N 23, et elles admettent les deux systémes de solutions
ni^ im. BN + N A 2 ON I0. ES; Een Ve
Si on prenait » — 5, p=1, on aurait à satisfaire aux relations JV + N +3 n—4, N+4n=N’+5,N+N+N">3, et on vérifie aisément qu'elles sont incom- patibles.
Enfin si on suppose n — 4, p — 4, les équations (15) et (16) admettent une infinité de systémes de solutions. En résumé, tous les systémes de valeurs admissibles pour m, », p sont contenus dans le tableau ci-dessous, en suppo- sant m € np,
m n | p 130952552109 i E Re E TI XS ome d TRAN LOO Sus NI TO ST RÖ Vd epe m
VILE | es van BE x ones XI om
Recherches sur l'équation de Kummer. 11
Ces onze cas se partagent nettement en trois catégories. Dans les quatre
\
a E premiers la somme Fr uu est supérieure à l'unité, et on sait d'aprés un
beau Mémoire de Mr. Senwanz (Journal de Borchardt, tome 75) que Vinté- grale générale de l'équation hypergéométrique correspondante est algébrique. Nous venons de voir que les equations (15) et (16) admettent une infinité de solutions et il existe en effet une infinité d'intégrales rationnelles de tous les degrés pour l'équation de Kummer.
: s DET er Dans les trois cas suivants (V, VI, VID, la somme m'nipn est égale
à l'unité. L'équation hypergéométrique correspondante s'intégre par les fonctions elliptiques. Les équations (15) et (16) admettent encore une infinité de solu. tions, et il existe une infinite d'intégrales rationnelles pour l'équation de Kuw- MER. Nous verrons plus loin que la question n'est qu'un cas particulier du probléme de la transformation des intégrales elliptiques de premiere espece.
PARAIT Enfin, dans les quatre derniers cas, la somme mtntz est inférieure à
l'unité. Nous avons trouvé pour les équations (15) et (16) un très-petit nombre de solutions et nous arrivons déjà à cette conclusion que, s la somme A+u+v est inférieure à l'unité, il n'existe qu'un nombre limité d’integrales rationnelles pour l'équation de Kummer.
[9.1] Il reste encore à étudier le cas où, parmi les valeurs de x qui correspondent aux valeurs 0, 1, co attribuées à #, il y en a une ou plusieurs qui sont différentes de 0, 1, cc. Supposons, pour fixer les idées, que l'équa- tion q (f) 2 à admette la racine / — 0 au degré r de multiplicité, b étant diffé- rent de 0, 1, ©; l'équation (12) admettra dans le domaine du point 7 — 0 les deux intégrales particulieres
yi esl 606
y, £4 p, tt. de sorte que cette équation n'aura que deux points singuliers de la premiere espèce. D’après ce qui a été dit plus haut, l'intégrale générale de cette équation et par suite de l'équation (9) s'exprimera au moyen de fonctions al- gébriques. Ce n'est donc que dans les cas d'intégration algébrique que cette circonstance pourra se présenter. Ilya encore une distinction à faire suivant que le nombre x est égal ou supérieur à l'unité, ou plus généralement suivant que l'équation q (/) 2 b n'a que des racines simples oua des racines multiples (qui ne peuvent être que 0, 1, o») tant que à est différent de 0, 1, o.
-l B2
E. GounsaA r.
Occupons-nous d'abord du premier cas; je dis que les fractions ration- nelles qui satisfont à ces conditions se ramenent aux précédentes. Pour prendre un exemple, je suppose que /— l et =» soient racines de l'une des équa- tion g (/ =0, 9 (f) 21, p( 2 o» et que /— 0 soit racine simple de l'équa- tion q (f) — b, b étant différent de 0, 1, oo. Soit « une racine d'ordre m de l'équation (tj — 0; on peut par une substitution linéaire /—.4w-F D faire correspondre aux valeurs «, 1, oo de / les valeurs 0, 1, o», de w et la fraction rationnelle q (Au + B) aura exactement les mêmes propriétés que celles que nous venons d'étudier. Elle conduira à une identité de la forme (13) où le produit x, contiendra le facteur w". Inversement toute identité de la forme (13) où l'une des équations q (£) = 0, q (£) = 1, 9 (£) = © admet l’une des ra- cines /—0,/— 1,4/— o à un degré de multiplicité égal à m,n,p, peut par une substitution linéaire donner naissance à une fraction rationnelle répondant au cas que nous étudions. Ainsi dans la formule (21) changeons 1 —/ en
nl
t 2
a où a est une constante arbitraire, on trouve la nouvelle formule
[8 (a +t- at — 36 t (a +t— at) + 27 P] —t[9£— 8(a c t— a]
(27) | = 64 a (1 — 8) (a + t— a €),
et la fraction rationnelle
prend une valeur différente de 0,1, oo pour {= co.
Un cas particulièrement intéressant est celui où les valeurs 0,1, de i correspondent à 3 valeurs de zv différentes de 0,1, o», de telle sorte que l'on ait une identité de la forme
x 4E jy rac Z?P — 0,
X, Y,Z étant des polynómes entiers sans facteurs communs ni facteurs mul- tiples, tels en outre que l'équation X"-- D Z' — 0 n'ait que des racines simples, sauf pour 6 — 0,5 — 1, 5 — o». Soit « une racine de l'équation .X — 0, p une racine de Y —0, y une racine de Z— 0; on peut par une substitution linéaire convenable Au+B
ROSE faire correspondre aux valeurs c, f,y de t les valeurs 0, 1, o» de a. Tiden- tité précédente devient
Recherches sur l'équation de Kummer. 13 up" JENNIE (u Er. igi Que RP? = 0;
cest une identité de la forme (13) où on a N=m N=n, NY" =p. Si nous introduisons ces hypotheses dans les formules (15) et (16), elles deviennent
(m — 2) (m'4- 1) + (n — 2) (&'4- 1) = 2 p— 2, m (n^ 1) n QU 1) =p (p+ 1). On en déduit
(m — 3) (m^ 1) + (n — 3) (n' +1) + (p - 3) (p- 1) + 6 = 0;
ce qui montre que les trois nombres m, x», p ne peuvent être supérieurs à 2. Si on suppose m — » — 2, elles admettent les solutions
m=n=?2, p, m=n=p-1,p=1. Soit en second lieu » — 2, n>2, p>n. On tire des équations précédentes
à . Ln mn an DP u ler En eo:
9
2n 2n et par suite p — ——, et a fortiori p — 6. L'inégalité p dumm est, satisfaite
.en prenant n=3,p=5, ou 5» —3,p —4, ou n=3, p —8. On en déduit trois autres systémes de solutions
nv. dm . quo uo na ap DANS rai 53 ONES 2 3 2b JE 7 5 9 3 5 9m T Jul
Par une substitution linéaire générale, on sera conduit aux quatre identités suivantes :
XR Ir ZI,
XE YS pU
Xj +9, d Z4
x: ar Y : rZ zz.
30 20 X, Y,Z étant des fonctions entières d'un degré marqué par leur indice, l'une seulement pouvant étre d'un degré inférieur d'une unité; chacune d'elles con- tient 3 parametres arbitraires. Les trois premieres formules sont les suivantes:
fer vT-Ir- (7 T 60-1
74 E. GouRSA-'.
3
ie "Y 4j e(t D ere} rare (y)
(28) | | à +195(5— 2 (1 -à4e- y) (0 ((—1] as
E
{ E E [ey 12 Pg —1y ffe @- 1 l'- 480 (6-1) lee 1
| 41287 Ge)
(29) — + (t— 1-48 (EE (71) P 16 t (e- |
= — 27.16 l (t- 14e ((- 1) e- 0 4] ;
la premiere est identique à la formule (18). Les formules (28) et (29) s'ob- ss I
= e dans les formules (22) et (25). On
tiennent en changeant / en
an (G= pr obtiendra de méme la derniere formule en changeant £ en rk = dans
lidentité (49) que l'on trouvera plus loin.
Les identités précédentes ont été rencontrées par Mr. HALPHEN dans son Mémoire sur la réduction des équations linéaires.*) II est facile de comprendre comment elles conduisent à l'intégration des équations correspondantes; pre- nons, pour fixer les idées, l'équation du tétraèdre
rum a v. z(e- DY +] a 6-0 52 ]v- quur 0
si on y fait le changement de variable z— — z;, la nouvelle équation en Z 7 2 4
aura pour points singuliers les racines de l'équation Z,— 0 avec les expo-
UD ME ; o sants de discontinuité — 1 et 4 D'aprés ce qu'on a vu au n' 1 elle admettra
donc les deux intégrales
IE
5 » EUH dont le rapport est précisément égal à t, de sorte que la variable indépen- dante est une fonction rationnelle du rapport de deux intégrales particulières. Les substitutions linéaires que subit £ lorsque æ décrit un contour fermé sont
2
précisément celles qui reproduisent la fraction rationnelle — 75. 4
PED,
[10.] Pour terminer ce qui est relatif aux identités de la forme (13), je considére encore le cas oi la relation (15) n'est pas satisfaite. Une formule
+) Voir aussi Kreis, Math. Annalen, Bd. XI.
Recherches sur l'équation de Kummer. 75
(13) ne fournit plus alors d’integrale de l'équation de Kummer; cependant ces formules peuvent servir à la transformation des séries hypergéométriques. Soit l'équation linéaire
(30) c (1—2)y [r — («t B-- 1)2] y— « By — 0, ou 1 1 1 ln actu Du
p
et une identité de la forme (13)
Dm = nine 3p. m UP" — a, Q" m RR: m
si dans l'équation précédente on fait le changement de variable Den la 3
nouvelle équation aura les points singuliers 0, 1, et en outre des points singuliers de seconde et de troisième espèce; par une transformation y = v on pourra la ramener à n'avoir, outre les points 0, 1, ©, que des points sin- guliers apparents. En faisant usage d'un résultat que j'ai obtenu dans un Me- moire sur les séries hypergéométriques d'ordre supérieur (Annales de l'Ecole Normale, tome XII, 2°" Serie, 1883), on voit quil existe une équation (31) t1 —202 (y (++ Dile- v 8 2-0,
de méme famille que l'équation en v; lintégrale générale de l'équation en v sera
v=p2+dE, p et q étant des fonctions rationnelles de t et z l'intégrale générale de l'équa- tion (31). Inversement l'intégrale générale de l'équation (31) sera
2=pv+ qv, et les équations (30) et (31) se raménent l'une à l'autre. L'intégrale générale de l'équation en v s'exprimera, d’après le Mémoire déjà cité, au moyen de séries hypergéométriques d'ordre supérieur. Cecinous montre que les formules dont il s'agit ne sont pas à priori complètement dépourvues d'intérét. Les formules (15) et (16) devront étre remplacées par les suivantes
N + (m — 2) m'+ N+ (n — 2) w— 2 p'4- 2 — 2 6, N+mm=N'+nn=N"+py, N+N+N"23, J étant un nombre entier positif. On en tire (m—3)m --(n—3) € -(p-3)p-3—N —N'—N"—30;
ce qui montre que les trois nombres »n, n, p ne peuvent être à la fois supé- rieurs à 2.
76 E. Goursar. Soit m=n=2,p22; les équations deviennent:
N+N'=2p+2—260, N+2m=N+2n=N + pp, N+N+N’>23,
et elles admettent, quel que soit ó, une infinité de systèmes de solutions. Soit m=2,n23, pn. L'inégalité (26) doit étre remplacée par la suivante 2pm pp oue 9? ou
et par suite p — 6. L'inégalité est satisfaite en prenant n — 3 et p — 3, 4, 5, c'est-à-dire seulement dans les cas d'intégration algébrique. On en déduit cette conséquence à noter que la relation (15) est forcément satisfaite pour les identités de la forme (13) qui se rapportent aux sept derniers cas du ta- bleau précédent.
Toute fonction rationnelle q (f) où £ serait racine multiple d'une équation q (f — b, b ayant une valeur différente de 0, 1, ©, se raménera par une sub- stitution linéaire à une fonction rationnelle où les racines 0, 1, coo vérifieront l'une des équations q (/ — 0, q (£ —1, q (f) 2 o». Celle-ci donnera lieu à une identité de la forme (13) ou la relation (15) ne sera pas vérifiée. En définitive, toute intégrale de l'équation de Kummer conduit à une formule (12), et nous ne nous occuperons désormais que du cas oü la relation (15) est sa- tisfaite.
III.
[11.] Je me propose maintenant de calculer un certain nombre de ces identités, en particulier celles pour lesquelles un des nombres »,»,p, est égal à l'unité. Je remarque qu'on peut toujours dans une formule de ce genre supposer les quantités 0, 1, © remplacées par trois quantités arbitraires €,,€,, &,, ce qui revient à effectuer une substitution linéaire. D’une identité de la forme (13) on peut en déduire cinq autres de méme forme en changeant 1 t t-1
1 MECK i; ten ia 1-14, Tree chacune d'elles fournit six intégrales ra-
Recherches. sur l'équation de Kummer. 77
tionnelles pour l'équation de Kummer, que l'on obtient en changeant wen 1 — x, qoc id GA mem Berg: au maximum trente-six intégrales rationnelles pour l'équation de Kuwmer; je ne considérerai point ces transformations comme distinctes et j'écrirai seulement une des formules dont on peut les déduire, avec un systéme de valeurs con- venables pour 2, u, v, 2, w, v' que je supposerai positifs.
Les idendités déjà connues sont très-utiles pour en obtenir de nouvelles, comme on le verra plus loin. J’emploierai en outre pour faciliter le calcul un certain nombre d'artifices qui sont suggérés dans chaque cas particulier par la forme méme de la formule à obtenir. Ecartant le cas singulier oü deux des nombres m, n, p seraient égaux à 2, je suppose m = 2,» — 3, p > 3, p=1. Les équations (15) et (16) deviennent
N+N+n=4 N+2m=N + 3n=N + pp, N+N+N’23.
Prenons d'abord n=1; ce qui entraîne N+N=3. On aura à consi- derer les quatre combinaisons suivantes :
(EE EN MEN DUNS 2) (N = NON NE 0): | 1" Cas. Soit N —0, N'—3. L'équation q (ff) 2 1, admettra trois racines qui auront l’une des valeurs 0, 1, ©: elle pourra avoir une racine triple, ou une racine double avec une racine simple, ou trois racines simples. Si on a affaire à une racine triple, on pourra supposer que c'est la racine {= 1 et on aura une identité de la forme
JEDE — (t — i (a par ÖS UE (t — 9)",
Chaque identité de la forme (13) peut donc fournir
que la transformation {= gu changera en 2 CT En p pr gs P, étant du troisième degré et @, du second. Nous connaissons les formules
de cette catégorie: ce sont les identités (22) et (23) et celles qui s'en dé- duisent. Inversement, soit « une racine de l'équation 16 &— 164+ 1 =0; si
: eu SES dans la formule (23) on change / eye m sera conduit à une des formules en question. Le nombre p aura une des valeurs 2 ou 4. Je ferai remarquer de plus que l'identité précédente est une de celles dont il a été
question au n^ 9.
18 E. GoURSA'T.
Si l'équation q (f) = 1 a une racine double et une racine simple, on pourra supposer que la racine simple est /— 1 et la racine double t= 0, et on aura une identité telle que
p rQ-1Q-m,
Q et R étant du premier degré et P du troisieme degré; le nombre p pourra avoir l'une des valeurs 3, 4, 5.
Si on avait p — 3, l'équation P^— R'=0 devrait avoir trois racines di- stinctes seulement, une triple, une double et une simple; un calcul direct prouve l'impossibilité d'une pareille formule.
Si ona p—4, on en déduira
på R= Pi — 1) Q'; or, l'équation P*— R’=0 se dédoublant en deux équations distinctes du
troisieme degré, l'une d'elles devra admettre un facteur triple et la seconde un facteur double et un facteur simple. On aura par exemple
P+R=0.0,
et par suite mal aes IC Q— gt (t = jJ
On est encore ramené à une identité connue; c'est la formule (20). Po- sons:
on en déduit la nouvelle formule (32) |a 25 aT P — | — (Gic 3) ner M
Prenons p — 5; une substitution linéaire conduit à déterminer a, !, m, n de facon que la différence (1 + m + n t 4- 1)— (t 4- 1) (a £ 4- 1)' soit divisible par £^. On aura le systéme d'équations
8a+1=9n, 3®+3a=n’+2m, a'+3a=21+2mn, a=m-F 21n,
Recherches sur l'équation de Kummer. 19
et l'élimination de /, m, » donne 1-9a+4(3a+1)=0. On en tire succes- sivement:
5 1 32 ms 2 M=—5; Lp
et on a l'identité
(82 °—- 9 F— 54 t+ 27Y — 27 (t+ 1) (3 — 5 ty — £ (1024 (t — 576),
, : : 917—325 que l'on ramenera à la forme normale en changeant t en 166 ^ |25 [27 P(—1)(36+125) — 4 (9£— 25) | = | 2 (91—25)— 9t (9 t— 25)” (33): AVE | 284; 16, (9 7— 25) - 27. 16 £V.
On peut remarquer l'identité de cette formule et de la formule (I) de Mr. Brioscar (Annali di Mathematica, tome X, 2" Série, p. 127.)
Enfin si l'équation q (£) — 1 a trois racines simples, on aura N”=0 et par suite p — 6. L'identité sera de la forme £(4— 1) Q'— P'— E^, P étant du 3°”° degré, Q et À du premier; l'équation P^— R° — 0 se dedouble en deux équations distinetes du troisieme degré dont l'une devra admettre une racine triple. On aura par exemple
P+R=C. @,
PER = - t (t — 1), et par suite
DC. OÙ o! (t — 1), qui est également une identité de forme connue (25). Il faudra prendre
P-(tr3)y—-330—1)t( 6), E-(tryyr-3j39—1)0t(ü-202( 4);
on en déduit la nouvelle formule
(34) [t5y-3;6-0ra-9] -t3y--120-0(0-9€ 7
2" Cas. Soit N—1, N'—2. L'équation q (f) 2 1 peut avoir une ra- cine double ou deux racines simples. Je suppose d'abord qu'elle admette une
80 E. GounsaA-T.
racine double, par exemple {= O0, et que l'équation œ (/) — 0 admette la racine simple /— 1. On aura une identité de la forme
(t—1)P*- f Q— nr,
P étant du second degré, et Q et R du premier. Le nombre p sera forcé- 2]
ment inférieur à 5; il pourra done avoir les deux valeurs 3 et 4. Des cal- culs faciles conduisent aux deux formules:
(35) &(4t—5y—(4—bty-(c—1)(8P7—11£4 8y, (36) (£— 1 (t — 81)’+ (b t+ 27)'— t (F-- 190 t— 1215)*
Si l'équation q (£ — 1 a deux racines simples, par exemple £ — 0, /— 1, on aura N”=0 et par suite p —5. L'identité sera de la forme
Bon
P étant du second degré, Q et R du premier. Par une substitution linéaire, on est ramené à déterminer / de facon que (0£/--5£-4-1)—(2£4- 1) soit di- visible par 7; il suffit de prendre 2/— 15, et on a en effet la formule
(37) (15 + 10 £4- 2 — 4 (2t 4- 12 — (£(128 £4 95 2+ 20),
qui sera mise sous la forme normale en posant «= « et p désignant les
ee Pe racines de l'équation 128 + 95 £ + 20 = 0.
3°" Cas. Soit N'=1, N=2. L'équation q (f) —O0 pourra avoir une racine double ou deux racines simples. Si elle a une racine double, par exemple 7 — 0, l'identité sera de la forme
PP-—(—1 9-R
P, Q, R étant du premier degré; une substitution linéaire la raménera à une identité pour laquelle on aura p'— 0. Inversement, considérons la formule (21) et soit « une racine de l'équation 8 £— 36 £ + 27 — 0; il suffira d'y changer
& 3 : 29 7—1 Pour avoir une identité de la forme voulue.
En second lieu, si l'équation q (£) — 0 a deux racines simples, on aura AN"—0 et par suite p —4. L'identité sera de la forme
QR
ét en
P, Q, E étant du premier degré. Par une substitution linéaire on est con-
Recherches sur l'équation de Kummer. 81
duit à déterminer deux polynómes //-4-1, mt+1 de facon que (lE+1)' — (m t-- 1)' soit divisible par #. On trouve ainsi la formule
(38) (4 + 3) — 27 (t 4- 1) = —#(27 + 44 (4-18),
que l'on ramenera à la forme normale en posant £— « 4- (B — «) u, « et p dé- signant les deux racines de l'équation 27 /^4- 44 £ 4- 18 — 0.
4" Cas. Enfin si on suppose N'— 0, N=3, on aurait m'=0, contrai- rement à l'hypothèse.
[12.] Conservant les mêmes valeurs pour m, n, p', faisons #—2. On aura N --N'— 2. et par suite trois cas à examiner:
CN =0. N’ = 2), (N = N= 1), (N — 2, NE 0),
1" Cas. Soit N —0, N'—2. L'équation y (f) 2 1 peut avoir une racine double ou deux racines simples. Supposons d'abord qu'elle ait une racine double 7 — o» ; on aura une identité telle que
P°— Q— i (t — 1)8 Re,
P étant du quatrième degré, Q du second et À du premier. En definitive, la question revient à déterminer un polynóme du quatrieme degré 7 et un du second & de facon que l'équation *— Q'=0 ait seulement trois racines di- stinctes. Appellons «', p', y les degrés de multiplicité de ces racines rangés par ordre de grandeur décroissante; on aura encore 5 cas à distinguer:
Soit &—6, g— y— 1. Par une substitution linéaire on est ramené à dé- terminer Il, m, », a de facon que (Ü+mti+nt+3t+1)- (at +2:+1) soit divisible par £^; le calcul conduit à une identité évidente.
Soit «&— 5, B—2, y—1. Un changement linéaire de variable ramène l'identité à déterminer à la forme
per 2 mp— («— 1*Q, P étant du 4°" degré, Q du second et Zi du premier. Posons encore 2 = w^; l'équation LJ a" | (o | se dédouble en deux équations distinctes du
8'"* degré. Or le second membre admettra quatre facteurs triples et deux 11
82 E. GounsaA T.
facteurs doubles; il faudra donc que chacune de ces équations admette deux racines triples et une racine double. On aura par exemple
P (w^) + w* E (w) = (u= LT (au but y,
et le second membre ne devra pas contenir de termes en w et en w'. Il fau- dra pour cela que l'on ait 3 5 —2—0, 30 +6ab+b'=6Ga—6b=0; on en
i jus E E la f l tire xu ET et on a la formule
195 u°+ 5660 u'— 29970 u'+ 43740 w— 19683 — w' (1600 u’— 1728) = (u— 1) (bw'— 18u— 27)" Changeons u en —u, multiplions les deux égalités membre à membre et posons w^—£; il vient
(125 2*-- 5660 2— 29970 2’+ 43740 2— 19683)’— 2 (1600 7 — 1728) — (e — 1)? [B5 2— 594 2 + 729]
27 — 2t ) Enfin si on pose 2— 95 , on aboutit à la formule
(89) > 21y'-- 1132 (27 —9 fj —149850(97 — 21)*+ 5°. 43740 (27 — 21) — 5". De DE | gr (27 -21)'=(1-1)° (#+ 970 t - 729).
Soit @&=ß'=3,y'=2. Par une méthode analogue à la précédente, on est ramené à déterminer a et b de facon que le produit (w — 1) (a u'+ bu + 1) ne contienne pas de termes en w, ni en w'. On a les conditions 3 5 — 2 — 0,
2 3020-0, d'oùon ire dl VE 3 et on a la formule 97 u°+ 36 u°+ 2u'+ 86 u'+ 27 — 64 u'(u' + 1) = (u — 1) (wt 2u + 3)* Changeons u en — w, multiplions les deux égalités membre à membre, et posons w^— z, puis 2 —2£— 1; il vient finalement:
on) | [27 (a: 1)*-36 (22-1) +90: N 300: 27] —9?* f (24— 1y—2* 1) (OR Soit «= 4, P=y=2. On aurait une identité telle que P°-£(t- 1 R'=Q
or l'équation PP P(t-1)’R’=0 se dédouble en deux équations distinctes dont
Recherches sur l'équation de Kummer. 83
l’une au moins est du quatrième degré, et par suite ne peut avoir deux racines triples seulement. Soit «—4, B=3, y=1. Ce cas ne peut rien donner car une identité
de la forme P- Q=:t- DM
1 ill permettrait de passer de l'équation hypergéométrique = gu -g"— à
u EMG . 12 b léquation (X —4, wu —4,v/ —5] et celle-ci devrait s'intégrer algébriquement q 4! 4 3 8 comme la premiere: ce qui n'a pas lieu puisque 2 + 1 <uw'+ v. Supposons en second lieu que l'équation t)=1 ait deux racines simples 9 > par exemple 4 — O et / — 1; on aura une identité de la forme
P°-t(-1)Q’=Rr,
P étant du quatrième degré, () du second et À du premier; le nombre entier p pourra avoir l'une des valeurs 3, 4, 5, 6, 7. Je remarque en outre qu'une substitution linéaire raméne le cas de p=3 au cas de p —5; il suffit donc de supposer p — 4.
Soit p — 7. Une transformation linéaire ramenera l'identité à la forme
psg | 20
q et + étant du second degré. Posons = w^, l’équation | 26 | 2e -—[D
3
se dédouble en deux équations distinctes, dont chacune devra admettre deux racines triples et deux racines simples. Il faudra donc que l’on ait
P (w^) tu=lu mut diy(ew-5u-ty;
et le produit contenu dans le second membre ne devra pas contenir de termes en a, u‘, w. On a les équations de condition
3b+m=0, bab+b’+3abm+3bm+3bl=0, 3a b--3am-r3abm-- 6abl-0;
1 7 prenons b — 1, m==— 3, les deux autres équations donnent a = — g ! =: et on a la formule
P-72wW=(7W-I9u+3)(W-3u—3)', en posant P=7u'+210u'-567 u" +378u -81.
84 E. GovuRsAT.
Changeons w en — w, multiplions les deux égalités membre à membre et
posons w^— 2: il vient la nouvelle formule (41) | (72°+ 2102'— 567 2°+ 3782 — 81)’— 2°. 9". 2" | = (49-392 +9) (z— 15 z + 9),
que l'on raménera à la forme normale en posant z=a+(ß-e)t, « et p dé- signant les deux racines de l'équation 49 2°— 59 z + 9-0.
Soit p=5. Le méme artifice conduit à déterminer /, m, a et b de façon que les termes de degré impair, sauf w^, disparaissent du produit (Lu + mw 1) (au’+bu+1)‘. On est conduit à des équations incompatibles.
Soit p—6. On devra avoir une identité telle que
t(é— 1) Q2 P'— RE. il en résulte que l'on aura PR = eme,
P—R'=(t-1)lt+m) et par suite 2RM(1t+m)—(t—1)(t+m)
Un calcul direct donne la formule (42) (2t— 1y- £((2— ty— (1 —40(1 +0 Posons P-t(2—40- (01-12-40 -2-—20F AC—12 7T 1071; on en déduit la nouvelle formule (43) (2-44 12 £6— 10:t— 1y—(2£— 1y— At(t— 1) (C—(— 2). Soit p—4. On est de méme conduit à rechercher une identité telle que 2 R'— (lt + my— (t— 1) (Ft + my;
cette formule se déduit sans aucune peine de la formule (21). 2" Cas. Soit N — N'— 1. On aura m=3 et l'identité sera de la forme
(t— 1) P^—- t Q= Rr,
P étant du troisième degré, ( du second et À du premier; p pourra avoir l'une des valeurs 6, 5, 4, 3. Le cas de p —3 se ramène au cas de p —4 par une substitution linéaire.
Soit p — 6. L'identité correspondante s'obtiendra comme il suit. Déter-
Recherches sur l'équation de Kummer. 85
minons aetb de facon que le produit (2 — 1) (a 2*+ b z + 1) ne contienne pas
de terme en 2” ni en z^; on aura les conditions à — a + b^, ab = a + V^, d’où on tire a=1, )^—5-- 1 2-0. On en déduit la formule
j|z-ei*22c6;*0|-[67* 27-877 021] =(e—1)(é-je+1)
Changeons 2 successivement en 72, j'z et multiplions les trois égalités membre à membre; il vient, en posant 2'=n
3
T Ju Grau (374 1) -|8; + 1)u— (Bj + 1)u + 1|
(44) ; zou) je a Duct 1. Soit pet
u [w-(35+ fact (Byer | «50-0 pe See |
= AU u — 1) | w'(u— ly + Aw(u—1)- Bu(u—1)+1 | À A, B étant des coefficients numériques dont il est facile de trouver la valeur; en tenant compte de la formule (44) on obtient la nouvelle identité
2
e u — 1) Tw - 1)'+Au(u—1) +Bu(u—1) + 1| |; + 1)u(u—1) a| (45) 3
| —4u(u — 1) D 1)- (3; 1)(8j—2)w (u— 1) + 8j + 1| que Pon raménera à la forme normale en posant 4u(u—1)=1.
Soit p=5. Une substitution linéaire ramène l'identité à la forme
WEE s
P étant du 3'"* degré, Q du second et À du premier. Posons (— w^; l'équa- tion u’ P*— R*— O se dédouble en deux équations distinctes du 7*"* degré dont chacune devra admettre deux facteurs triples et un facteur simple. On aura par exemple
u P (u*)— R (w*) = (u— 1) (au? + bu-F Ly,
et le produit contenu dans le second membre ne devra pas renfermer de termes en #° ni en w; ce qui exige que l'on ait
a^—3a*b 20, 6ab + b°—3 a°—3 ab°=0.
86 E. GoursAT.
On tire de la premiere a=3b et en portant cette valeur dans la se-
: 9 : SE conde on en tire deeem ce qui conduit à la formule
" ER wa 7 ut + 8* Tea B. 7] —9: 3" Pour 2"
—(u— 1)| 27u+ 9u—8].
Changeons u en —w, multiplions les deux égalités membre à membre et posons w^—£, il vient: JEN /—2.9'. 7.04 8:5*. 7-9". 5. JE 2", |». "d zl =) [5e 9.19.02] 641
—— — = l'identité est ramene à la forme nor- 189 ; — 195?
Enfin changeons t en
male [64 ef. 91 die. 4.2 892 —- 125), 29 bra t (189 4 — 125)
46 : (40) | —2".5.7 (189-125) | Lo BA SB os):
3 .
— 195 (t — 1) 2". 3° P—2°,3°.192(189 £—125) + 2" (189-125) |
Soit p=4. Par un artifice analogue au précédent, on est ramené à dé- terminer a et b de facon que (u—1) (aw + but 1)° ne présente pas de terme en w' et que les termes de degré pair forment un carré parfait. On a les
équations de condition a—3 b, 9 (b + 2—4(9 -- 80) 20, d’où on tire b= 5:
a=— = Le calcul développé donne
u [1728 u'— 5040 u'+ 5012 u°— 1701| + (28 W°- 97y' (u — 1) (12 u*-- 4u— 9);
changeons % en —“, multiplions les deux égalités membre à membre et po- sons w^—4£; il vient:
e | [1725 £— 5040 # + 5012 £— 1701 | -es t— 27) =(t- 1) (144 ?— 992 t 4- 81):
De cette formule on en déduit une nouvelle, par une substitution con- venable :
Recherches sur l'équation de Kummer. 87
(48) (84 4 81)+ (256 F-44864 180) (1-1) [061-97 2161-5127 —144t(161—9)]- 3" Cas. Soit N—2, N’=0. L'équation q(/)—O pourra avoir deux
racines simples ou une racine double. Supposons d'abord qu'elle ait deux racines simples /—O et £—1; l'identité sera de la forme
t(t—1)P*— Q'— p,
P et Q étant du second degré, À du premier. Le nombre entier p pourra avoir l'une des valeurs 5, 4, 3. Soit p—5. Un calcul facile donne la formule
(49) (bw—20u-F 4) + 3456 w— (125 w— 44u + 4) (w^--8u— 4)*,
que l'on ramènera à la forme normale en posant 4«— «c (8— «)£, « et à dé- signant les deux racines de l'équation 125 w— 44 w + 4 — 0.
Soit p—4. L'identité s'obtient directement en changeant z en (2/— 1) dans la formule (r— 4) 4-27 z^—(r-- 8) (r—1), qui se déduit elle-même de la formule (20). On trouve ainsi
(50) ^ (4£—4t—83y--27(21—1y—4t(t— 1) (A9 41t—9):
Si p=3, en changeant £ en (2£— 1)" dans la formule (25), on obtient la nouvelle formule
Eu NET Sete ete,
que l’on raménera ensuite à la forme voulue par une substitution linéaire. Si l'équation q (f) —O avait une racine double, l'identité serait de la forme eP°-0Q’=(t-1PR
P et Q étant du second degré et À du premier. Cette identité rentre dans la catégorie particulière du n°9; elle se déduit par une substitution linéaire des formules (22) et (23).
[19.] Soit »—3. On aura N+N'=1, et par suite deux cas à di- stinguer.
1" Cas. N=1, N'=0. L'équation q (f) O0 admet une racine simple; supposons que cette racine soit /— oo. On aura m'=4, et la question revient à trouver un polynóme du quatrieme degré 7 et un du troisieme @ de telle
88 EB. GoURSAT.
facon que l'équation P’—- Q'=0 n'admette que 3 racines distinctes. Soient «, D, y les degrés de multiplicité de ces racines rangés par ordre de gran- deur décroissante: on aura sept cas à examiner «|3|4 4|5|5|6 7 | z | | pl3 34 32/21 7 SATTE Soit @&=ß=y=3. L'identité serait de la forme P=Q'-t (t— 1) R'; l'équation Q*'— tf (£—1) R'=0 se dédouble en trois équations distinctes dont deux au moins sont du troisième degré. ^ L'équation P^— O aurait donc des racines d'un ordre impair de multiplicité. Soit «=4, (/—93, y=2. Par une substitution linéaire, on est ramené à une identité de la forme |
0 — 2 JT = (t— 1) JES
Posons £—w'; l'équation Q'—u" R'=0 se dédouble en trois équations di- stinctes dont chacune devra admettre un facteur simple et quatre facteurs doubles. On aura par exemple
Q (w^) —w R(w)-(u—1)(aw t bw-Fcu' dud ly,
et le produit contenu dans le second membre ne devra pas contenir de termes
en w^, w', w', u. On aura les conditions
a'—2ab=0, b+2ac—-2ab=0, 2b+2cd—c-2bd—2a=0, 2d-1=0, À : 1 1 :
d'où on tire b——4, a=-8, c=—3, d pe En effectuant les calculs, on
trouve en effet
2
2^. u—2*.8 .w*-- 21u—4—2w (108 w— 97) =(u — 1) K uw F8w-T6w-—wu-— 2| à
?
changeons w en jw, puis en jw, multiplions les trois égalités membre à membre et posons w/—£, il vient:
2. NS ol 4] on == le ee:
(52)
216 8 182(16 1— 181-2].
; t On obtient une autre formule en changeant t en dues ric).
[92] ceo
Recherches sur Véquation de Kummer.
pcm
eet —9*. 3.2 (41—3) 4- 212(4t— 3! — 4(41— sy] 3". i (4t—3y
53) : ZB |216(41-3)+t(120+3) +216 4 r(L1-3y 1084 (12 3) 2)]. Soit c— =4, y=1. Onaurait une identité de la forme 4 P^—(t-- 1) &' = Q'; changeons t en w^, l'équation w* P^— (w^— 1)' &' se dédouble en deux équations distinctes dont chacune ne pourra avoir que des racines triples. On aura par exemple:
aP+(W-1’ R°=Q",
wP-(é-1y m q^,
et par suite 2 (w— 1) R’= Q"— Q'". Maisl'équation Q"— Q"*—0 se dédouble en deux équations distinctes dont deux au moins sont du troisième degré; l'équation (w^— 1) R’=0 ne pourrait done avoir toutes ses racines d'un de- gré pair de multiplicité.
Soit @=5, ß=3, y—1. On aura une identité de la forme
gr — 9e
si on pose =", l'équation. Q^— u R’=0 se dédouble en 3 équations distinctes dont chacune doit admettre une racine simple et quatre racines doubles. On aura par exemple
Q (w^) -uR(u) (u — 1) (aw*-- bu cu^ - du 4 ly,
et le produit contenu dans le second membre ne devra pas renfermer de termes
en w^, u’, uw’, w; ce qui fournit les conditions:
a'—2ab5—0, b’+2ac-2ab=0, +2a+2bd-2ad-2bd=0,
d+2c—24=0, d’où on tire
2 2 JA ps [eS Mec E UTE 5° 5 5° 5
En développant les calculs on trouve a. w—2', 9.5.w —2*. 5.49. w —5'-- 3*.w(2". w — 57) : 2 —(u— 1) Um 9 Ww A 31 EMI us].
De cette dernière on déduit par le procédé déjà employé plusieurs fois, 12
*
90 IBS GU OTUNRIS AUD:
* p-29 8 ve e sx coSed duy i1) [p.i y en (Qr reyes ncs ant).
E 2 | À
125 128—34 Soit « —5, B—y—=2. On aura une formule telle que
tpe (é— is R— Qr
En changeant 4 en on obtient une nouvelle formule de méme nature.
posant £— w^, l'équation «^ P^— (w^— 1)’ R’=0 ne devra avoir que des racines triples et par conséquent on aura
u P (u?) — (u*— 1) R (w^) 5 (a w^ + bu + cu + d)*
Le second membre ne devra pas contenir de termes en w^, ni en w^; ce qui exige que l'on ait à — d —0, et on aura aussi R=0. Soit «— 6, p—2, y=1. On aura une identité telle que
tP^—(t-1y BR=0'; posant £— ^, on devra avoir
(w^— 1).&— wu P- Q^,
wW+1)R’-uPp=Q", et par suite -
2 (u°— 1) R’= Q°+ Q^
Nous reviendrons plus loin (n° 20) sur les formules de cette espèce.
Soit «— 7, P=y=1. Par une substitution linéaire, la question revient à déterminer un polynôme du 4°" degré P et un polynôme du 3°”° Q de telle facon que P*— Q* soit divisible par ft.
Soit SK Ar UNG tnt FEU Q-at ar VE 2 T do revient an méme d'écrire que la différence 2 P' Q—3 P Q' est divisible par 7: ce qui fournit les 5 relations
3b+3-2n=0, IJa+12b—-2n-6m=0, 21a 25n—810-— 6m—0, an—21=0, 3am—2bl=0. On en tire successivement :
n= HP D m = Zub: 1) a ne
=
Recherches sur l'équation de Kummer. 91 1 5 et en portant ces valeurs dans la seconde on obtient pour ) la valeur „et par
-
suite on aura Tr = 9 = ONE : ven
En effectuant les calculs, on trouve en effet la formule
(63 w*-- 140 w* + 168 u°+ 96u + 32y— 16 (3 u'-+ 10w^- 8u + 4) —9w' (48 w*-- 39 u+ 24),
que l'on ramenera à la forme normale en posant w—« + (p—«)6 « et p dé- signant les deux racines de l'équation 48 w^-F 39 uw 4- 24 — 0.
2 Cas. N=0, N=1. L'équation (15) donne m=5, et la question revient à trouver un polynôme du cinquième degré P et un polynôme du troi- sieme © de telle facon que l'équation 7^— Q'=0 ait seulement trois racines distinctes. Soient «, p', y les degrés de multiplicité de ces racines rangés par ordre de grandeur décroissante; on aura à considérer les cas suivants:
« |4|4|5|5|6|6|7|8 Bas 2 23 310 y 32 uem
Soit c«— 4, p=y=3. Par une substitution linéaire on aura une identité telle que P-t R'=(t-1) Q°
Posant Z=u?, on en déduira une nouvelle formule
P(u?) —w Lu Qe) -— (u— 1) (aw bar cu 1),
et le second membre ne devra pas contenir de termes en u, w^, et les termes de degré impair, divisés par w' devront former un carré parfait. Le calcul conduit à des équations incompatibles.
Soit «—p—4, y=2. On aurait
p?— fe (é— Lr R'— OM
et le premier membre se dédouble en deux facteurs distincts dont l'un au moins est du 5'"* degré et par suite ne peut avoir tous ses facteurs triples.
oltre D bit 21. On. aura P*—tE'—(t-1)Q5
92 E. GOURSAT.
2
posant £— w^, il faudra que l'on ait P (w^) Fu |^ «w)| = (u— 1) (au +bu’+cu+d)',
et le second membre ne devra pas contenir de termes en u”, w^, et les termes de degré impair, divisés par u devront former un carré parfait. Le calcul un peu long ne présente pas de difficultés est on et conduit à la formule
QUI us ORG. Ww 3°. DA 19 7-951195 9) ON Ko NS ngu DRE 3 +2°. «(3*. u°—92*, 5'— (u— 1) [s w^--27w-—T72w— 16].
Si on change w en —%, qu'on multiplie les deux égalités membre à membre, puis qu'on pose u'=t, on parvient à l'identité | ar F—92.37.5.£4-3*:5*.13 0—9*.8*.959. P. + 2*: 35,52, £4- >| (56)
3
[2e 2 5j 9 rene 2Ty— (274 16) |
807 ; Changeons dans cette formule t en 3] 1; 9n obtient une nouvelle iden- tité
[2". 3°. 5°. 9-2”. 3”. 5° F(BLE—1)+ 2% 39.5 180810 0)
=(1—1) EG 53.2+ 27)’— (812-1) (27. 32.t + 16) |.
Soit «=5, P=3, y=2. Une substitution linéaire ramène l'identité à la forme pum E Ji (t— 1) rs
par un artifice déjà employé, on est conduit à déterminer a, b,c de facon que le produit (w— 1) (au + bu*+cu+1) ne renferme pas de termes en w^, u’, u. On trouve ainsi la formule
3.0 — 93: 5.w —2.3'. D. w— 3. 55. 7.u — 9^: 5*0 27 9 bow (1.3.0000) uam mt u +3);
en opérant comme tout-à-l'heure, on en deduit:
Recherches sur l'équation de Kummer. 93
p Tq gy cuoAq0):5:9 a): 1-27] - 100 Z (189 £+64)*
(58) : =(t-1) Bey Fe y].
64
On obtient deux autres formules en changeant successivement Zen 3 9537 189
259.2 — 64 puis en - Sn
Soit «—6, P=3, ;—1. On aurait une identité telle que P*— £(£— 1) R’ — (^ qui permettrait de passer d'une équation à intégrale algébrique à une autre équation dont l'intégrale générale n'est pas algébrique.
Soit «— 6, ß=y=2. On aurait une identité telle que P^— £^ (t—1Y R'= Q'; le premier membre se dédouble en deux facteurs distinets dont l'un au moins est du cinquième degré. L'équation P^— 7 (£— 1)" R’=0 ne peut done avoir toutes ses racines triples.
Soit «— 7, B—2, y=1. Un artifice déjà employé ramène la question à déterminer a, b, c de facon que le produit (u — 1) (aw*4- bu*4- cu 4- 1)! ne ren- ferme pas de termes en w, w^, w'. On trouve l'identité
343 u’ + 6272 w-- 31941 u" - 10348 w'— 330014 u'+ 1010394 w*— 1240029 u? 4-531441 = (u — 1) (7 w^- 45 u 27 u— 81). Si on change u en —u, qu'on multiplie les deux égalités membre à membre et qu'on pose «^—£, il vient la nouvelle formule (59) J [343 2°+ 31941 2°— 330014 2° + 1010394 &— 1240029: + 531441] J | ^£ (6272 £— 10348)° — (£— 1) (49 &— 2403 + 8019 6— 6561),
10348 — 4076 £ 1 et il suffira de remplacer 4 par —— 6979 pour la ramener à la forme
normale.
Soit @=8,ß=y=1. identité correspondante s'obtient comme il suit. On a la formule
bes ges) renaud +[2V 2-2
changeons successivement u en ju, puis en ^w, multiplions les trois égalités membre à membre et faisons w^—z, il vient:
— 3/2iu— 1|;
mcd
94 HE. GoURSA'T.
ra a ^ : Mr (2 + 1)(@- nos ees ine 0 2-2y23]
1 » gar N : Dans cette derniere changeons z en UE elle deviendra
@+1) (+ iv?) a (7+9:V2) a” Ne een] Neu +iy2) a’ -( +9iV/2) a
Mode
H- [i Io S io pu bo t2 T DD | I + SS bo = = LT Hol ea | E.
Soit P — (n4 |i iva) a+ (+9:72) a+ Ue -F (y — 1) [d +: 2)’
E - (essa Jern
P est une fonction paire de x, comme on le voit immédiatement : P=Ax''+ Bx’+ Ox°+ Di’+ Ex’+ F,
À, D, C, D, E, F étant des coefficients numériques, qu'il est aisé de calculer. On déduit de l'égalité précédente
TEE «(2 gis) (De [(Leiv2) e - vive - IC +9 iv?) q^ : —4 a] |
enfin en posant z^—/, on a la formule annoncée
Recherches sur léquation. de Kummer. 95
: Ti Ti à AP BP CE DP Etc F| -162le(2- = (2 =) | Bu oi ann
(60)
|-: (t— ol [um i| ael 9iV 2|-[( +0iv2)e+-ive]]
[14] Soit n=4; on aura N— N'—0, m=6. La question revient à trouver un polynôme du 6?"* degré P et un polynôme du quatrième degré Q de telle facon que l'équation P^— Q'=0 n'ait que quatre racines distinctes, y compris la racine = o». Soient «,p',y,d les degrés de multiplicité de ces racines, rangés par ordre de grandeur décroissante; on aura à considérer les cas suivants :
«|3|4|4|4|5|5|5|5 6|6 6 7|7 8]9 K|3|4|4/8/5|4|9|3|4 8|2|8 2|2 1 y|3|3|2|3.12/8|2|12 2|1,2]1[1 &|5|1|2:2/1|1|1|2|1/1|2| 1/1 |1]1
Soit «— 9'—,;'—9'—3. L'identité correspondante a déjà été obtenue; c'est la formule (28).
Soit «=ß=4,y=3, 0 2 1. On aurait une identité telle que P*— £(£ — 1)! R° — Q^, R étant du premier degré; en posant /—w', on serait ramené à dé- terminer a, b, c, d de facon que (au’+bu’+cu’+du+1)' ne contienne pas de termes en w et que les termes de degré impair, divisés par w', forment un carré parfait. On trouve qu'il faudrait prendre d —0, b=0 et on aurait par suite = O0.
Soit «—'—4, y=09'=2. On obtient sans aucun nouveau calcul la for- mule suivante. Posons
P46j(j-1)(9t-1y*t1—0)- (4P—41(—7Yy, P-65(5-1)(2t-1) (1 -)=(4 —4t—j), équations compatibles en vertu de la relation (51); on en deduit, en les mul- tipliant membre à membre (61) p-sopg-iyrü-o iiy = [aerea Soit d=4,ß=y=3, €'— 2. Onaurait une identité telle que P*— (t — 1E — Q^; en posant t=uw", on serait conduit à déterminer a, b, c, d de facon
96 BE G- OmU ms AT.
que (au’+bu’+cu’+du-+1)' ne contienne pas de termes en w, ni en w''; on aurait 0 — d — 0 et par suite R=0.
"iur MN, | Quer
Soit «=p'=5, y—9'—1. Dans la formule (49) changeons # er Ty nous aurons la formule voulue.
Soit d=5, B—4, y=2, d—1. On aurait une identité telle que .P* — £°(t— 1) R’= Q^; en changeant t en w^, on serait conduit à déterminer a, b, c, d de facon que (au’+bu’+cu’+du-+1)' ne contienne pas de termes en w, ni en w^. On aurait donc d—5-—0, et par suite R=0.
Soit @=5, B—y=—3, 0—1. On aurait Q'—7 ((—1) REP" En posant t=u*, on sera ramené à déterminer l, m, n, p, qd, r de facon que (lu’+ mu’
4 T 10
+nu’+pu+gu’+ru-+ 1)’ ne contienne pas de termes en u, w^, u, w', u On aura donc successivement r — 0, q— 0, & — 0, s — 0 et par suite £=0. Soit «= 5, 9'— 3, y=6=2. On aurait P*— £^ (c — 1) R= Q^; en posant (—w', il faudra que (a w'-E b w^ - cw du 4-1) ne présente pas de termes en u, Wu. On aura b — d — 0 et par suite À — 0. Soit «— 6, (— 4, y—6 — 1. Un calcul analogue aux précédents montre que l'identité est impossible.
Sont 56; (0 3, y 12) 0 — I0 mn^8
(s w — 8 3 u°— 6 w— E P (u^) — 216 V3 (u°+ 1) (w-- " Ww
changeons # en — u, multiplions les deux égalités membre à membre et po- sons @°= 2; il suffira d'une substitution linéaire pour ramener l'identité à la forme normale. Soit @=6, B—y—90—2. On aurait Pt (t—-1)Y R=0 et par suite P+t(t- 1) R'=0", P-t(t-1)R=Q", 24(t— 1) R’= Q°- Q7.
(QE
Mais Q' et Q" étant du second dégré, l'équation Q"— Q"— 0 ne peut avoir de racine triple. Soit «= 7, (/— 3, ;/—0'— 1. On aurait une identité telle que
Pr HE RO
qui permettrait de passer d’une équation à intégrale générale algébrique à une équation dont l'intégrale générale n'est pas algébrique; ce qui est impossible.
Recherches sur l'équation de Kummer. 97 Soit «— 7, f=y=2, Ö#=1. On aurait une identité telle que pa Lu (t > ie R°— Qi;
en posant £— w^, on sera ramené à déterminer a, b, c, d de façon que (aw' +bu’+cw+du+1)' ne contienne pas de termes en w, w^, w. On aurait a=b=0 et par suite R=0.
Soit «&— 8, p/— 2, ;— X— 1. On obtient directement la formule corre- (£— 66+1)
ETE dans la formule
spondante en changeant x en
(x — 9)! z + 27 (1 — zy—- (x +3), et en tenant compte de la formule (24). On a ainsi:
2 |
\le-61+ 1), (850,551) +14 tn" | — 432 t (1— 9° (1+ £
(62) | =(0= GÖS GRIS 1):
Soit «— 9, P=y=6d=1. Si dans la formule
(«+18 & — 27y— 64 x'= (x — 1) (x — 9), on fait VOICI ner Me Den 19330 X6 — tf) "^ — 834(j—1)t(1— t)
on trouve l'identité correspondant à ce cas:
[e ciresajG- )ea-0ty-23; G-wea-o (63). |-iG- 1)£(1— 0 (+3) Jet -tjy-9273(j—1)t(1— j|
3
[15.] Soit » —2, p—4, w—1, p=2. La relation N+N'+(p—2)p =2n+2 donne N— N"— 0 et on aura à déterminer un polynôme du qua- trième degré P et un polynôme du second Q de facon que l'équation P*— Q'— 0 ait seulement quatre racines distinctes. Soient «, p, y, 9 les degrés de multiplicité de ces racines, rangés par ordre de grandeur décroissante; on aura à examiner les càs suivants:
13
98 E. G-OURSAT.
«|5|4|s|a|2 Blı12[3 212 ylılılılala sılılılıla
Le premier cas est à rejeter, car l'équation P°— Q'=0 se dédoublant en deux équations distinctes du 4°”° degré ne peut avoir de racine d'un ordre de multiplicité supérieur à 4.
Soit «— 4, p—92, ;/— X— 1. L'équation P*— Q'— 0 se dédouble en deux équations, dont l'une devra admettre une racine quadruple et l'autre une ra- cine double et deux racines simples. On aura par exemple
P+ (= AR p aco (CD
et par suite 2 Q'— R'= C£(t — 1. On est ramené à une identité connue; c'est la formule (24). Posons:
Pa (E- 64 1y-—( +1), P-2(#-61+1)'= joe équations compatibles d’apres la formule (24). On en déduit: (64) P°- am 644 1—162£(1 — ty (1 - 1):
Soit @=P=3, = 0 —1. Chacune des deux équations P+R’=0, P- R’=0 devra avoir une racine triple et une racine simple. On aura par exemple PEQ=R, P-Q'-—Cf(t—1) et par suite 2Q=-R-Ct(-]);
on est encore ramené à une identité connue. Posons 1 [ 2 3 P+ XS Ü— 86 t+ 27y- (9 —8ty,
1 P 5(8 £— 36 £c 27-64 (1-0),
Recherches sur l'équation de Kummer. 99
équations compatibles d’apres la formule (21). En les multipliant membre à membre, il vient:
(65) |o he j| - (8£— 364 + 27) = 256 # (1— 2) (9 — 8 £y.
Soit «= 3, B=y=2, 09— 1. Des deux équations P + Q'— 0, P — Q*— 0, une devra avoirun facteur triple et un facteur simple, la seconde deux facteurs doubles. On aurait P + Q'— E", P — Q'— Ct^ ((— 1) et par suite 2 Q'— E — CP (t—1); R étant du premier degré, il ny a pas d'identité de cette forme.
Soit &=ß=y=6=2. L'identité correspondante est
(66) love Deal 411-1 -»ef Fotze Ter 1); =(2P- 2:41)".
[16.] Soit m=2, n=p=4, n=p=1. On aura N+N=2; ce qui fait trois cas à examiner On ne pourra avoir N— 2, N=0, car on aurait N"=0 et par suite N+N'+N'—2. Prenons N=N=1; on aura N"— 2, m'—2, et lidentité sera de la forme P^—: Q'—(t —1).R', P étant du second degré, Q et R du premier. On trouve facilement la formule AME Soc vec e 0 x Xr RD 1| -[a yon) (67) | : BR | +1-2y-1| = -9|1-4+V- We].
Si on prend N — 0 N- 2, on aura m=3, N en L'identité pourra se ’ ’ ’ ramener à la forme suivante
PO URN
P étant du troisième degré, Q et À du premier. Mais léquation 2°— Q'—0 se dédouble en deux équations distinctes du troisieme degré et par conséquent ne peut avoir de racine quadruple.
Soit m=2, n=p=3, m=1, n=p=2. L'identité sera de la forme
PO (MES
c'est précisément la formule (51). Si nous supposons i — n — p —3, m=n=p'=1, nous retrouvons la formule (42).
100 E. G OoURSAT.
[17]. Soit » 22, n=4, p=5. Nous avons trouvé deux cas à examiner: mcd n=2, BD NEN—-N=0, NE: m9 n p m .N 0, N=2, NZ.
Dans le premier cas l'identité serait de la forme P^— Q'—£(t— 1) R'; mais l'équation. P?— Q'— 0 se dédoublant en deux équations distinctes du quatrieme degré ne peut avoir de racine 5"*. Dans le second cas l'identité sera de la forme P'—£(t— 1) Q'— I^, P étant du troisième degré, Q et À du premier. Par une substitution linéaire on est conduit à déterminer / et m de facon que (lu’+mu°+5u+ 1)—(2u4- 1)" soit divisible par w'; on trouve ainsi la formule
(68) (Bu’+15u+10u+2)’—-4(2u+1)’=u' (25 w^ 22 u+ 5), que l'on ramenera à la forme normale en posant u=e+(ß-e)t, « et p dé- signant les deux racines de l'équation 25 «+ 22u+ 5 — 0.
Nous avons épuisé toutes les hypothèses où l'un des nombres m, n,p
peut étre égal à l'unité. J'ai réuni en un tableau les principales formules
qui viennent d’être calculées, en groupant ensemble celles qui ont lieu pour les mêmes valeurs de m, ^, p.
TABLEAU DES FORMULES.
=D WT DE ee
(35) 1*(E1—5y— (4—5— (EDEN . m p = rer Der reg sei n + 27)
(40) < mar ae So o DEUS 1)... Spy v=l.
| (84 t— 81)’+ # (956 £— 448 t + 189) (48) |
d =(-1)|(161--9)"+ 21614 5127 — 144 £(161—9)] DEus =
Recherches sur l'équation de Kummer 101 51) (4 Ü—A4t—yy-— (4 1’—4 tj) —12j(j— 1y2:—1)y t(1— —t). À 29 -—
= P—9'.3£--21 ra —£ (1081— 97):
(52) -(t- 1| 6-2 + (162-1 1) +216 —186(166— 1) (86—2 2)| BL E iis co bito S JA SER LE Aa, ute Ce sie ar Jen: Sorel 7 LE 3
Ur usu SAS, is 3*2 (97 255^)
(54) J= ee D) OP la osse Dre i
/ 2 | [s yp By RON TE er. > 27 |
GS) |- 100 (189 +64Y=(u D [ur +1) ex
y, 2580-64 toe CN: ol Hz 189 CM er au ae zu fe, On 0 O0) weite SEK TR KIA m-—2,mn-3,p-—4. [ör 18504 1441 - 64|- (00-97 1087 (1 — 2) (4 — 3 £t) (32) OM SEL aoa E625 uns de OO. 0 9 E OT OC à—3 CRUE
,/ 9 , (36) (£—1)?(£—81)4- (5 +27) =é(#+1906— 1215)". NH ELE T
| (4 u 4-3) — 27 (u+1)'= GE) | où LL MR, (m-s ud | VOTER
102 E. GovunsaAT
as 5040 + 5012 t— 1701] - (281—27) (47) = 44#—9394+ 81) ee I=@-1) 0442—232 taps Le coe Ko (48) (&£—41—3)- 27 (2t—1y—4t(t-1)(47—41—9) Y-2g —v = à | B "TAE CI EE CITÉ 13° 4(41-3) | (53) i-a i (4t-3)'=3(1-0 |216(4-3)+(124+3) +216 (11-3) 108 (12-3) (403) dos dec e [er RE qtc35. 5* qoare ooa cos ab de Säl (56) =D 2 : JA IS | —(t— 1) (81£— 27)’-- (27 t— 16) | D ei ET Quem gom B jj een (a-o| (61) (367 (j - 1r ra- gr Qr iy - [Ge - 21) Gear) | ' , 1 ' ner door Re A= =373) Bel \|e-80°+s+°a-9]-(r- 301427) (65) « | 1 | 225660 00-89 (uU AERE on duga E A1, us.
Recherches sur l'équation de Kummer. 103
m 0-3.
27 à(t— 1) (8t 4-125) — 4(9 t— 25)
(33) | E (91—25)— 94 (91—925)' — 54. 16. (9 t — 25)+27. 16”. r| "uw. m SE m "cl De SE 5 = RL, [EIE Ee = ... À —9 u = 3 (== 5 | (15 w-F 10 u + 2/— 4 (2u-- 1/2 —w' (128 wr 95 w + 20), EE SAVE wen RE UE, en. Vo o E 256 256 DE 2
je 21)+1132(27 —2 t — 149850 (27 — 21)°+ 5°. 43740 (27 — 92) - 5°. ES
2) (39) | -2 res -2 iy Q — iy e 27014 729) EE oa (=) (P3 97014799) nn nr p 9'. P—9'. 31,7. f (0891— 125)-+ 9°, 8°. 5*. 7. £ (1891 — 195) (46) |- 9'.5.T (1891—125y| - 2". 5°. (189 1— 195)" m pd D Mm 125 (r — 1) 2". 3° 29°, 3°. 19 (189 —125) +2" (189 1— 125)] x ===. | (bBu—20 u + 4) + 3456 u’= (125 u’— 44u + 4) (u°+ Su —- AY, (49) : = = où je +2V- LEE = p v PUE C. © 0 5* 0618 m BO cU AM quel uH 125 125 | gg
x iuga 95 5. 49. u— AU +3°. u ii u— p
125 128 — 37
(54) | =
OÙ 2 =
(57)
(5 SS
(42)
(44)
104 E. GounsaA T. o ge, 5* P9735 5 qaum 2 3° 55 T3 (BI) — 2". 8*,5*. 959. P(81£—1)'4- 2'*. 3°. 5°, £ (8141) 2. (8311
M
— 3". 8 £(814— 1) = (1— 2) [80 HO TE (sit Ion oe 16)
Jn D A M AM EEE ER ANG ARS = = i Wei 5 3 5 för wisis ut 9 27] — 100 u’ (189 u + 64)’ = (u — 1) Ju (27 u + 1)°— (9 u+ ». ou u = al M er ani EO EMI deg = ä = 5 y 2 253 ( — 189 5° 5
MDN DO
CPE POP ESTONIE EEE
o d 3 9] 2T f ER. Dt 9) E- BE = me. At 3 M — 3 sn (2£—40- 12 0— 10:— 1y— (2t— 1yz4t((— 1) (üà—£—2) 0 Xm gr =;
TEE DES.
Bl dei) AE) (LEONE RE RE = uu
ie (8j + 1)4+ (85 + )|- |a; 1) - (3j 1) t1 |
Recherches sur l'équation. de Kummer. 105
NNE IE
(64) |n 16t(1—1)] Ze -6H1)=641(1-N (140° en = n gy
[E —/—1) (1 - y-1y &—( -y—1)(2 + 6/—1)(— |
(67) 1 = 4 , 4 1 1 EC VET el 217 | = (1 - 9 Beam, 1 o0 layers mer weh e. EM 10 ur 2) = 4 (2 u + 1) = "(25% 99-5) 68 E = = (68) Où u = -11+2y- a LEE. dote ap RS TEE y—
25 25
T — 23 DB JAS Ye (Tu'+ 210 u’— 567 w°+ 378 u — 81)'— 2°. 3°. w'— (49 w'— 39 u + 9) (u°— 15 u + 9y,
EN 8y3y/—1, OU U= p se Uv s. s SB QM ET e t is ss 98 98
(63 ut 140 u'+ 168 u°+ 96 u + 32)'— 16 (3 à - 10 w--8ud 4)’ gu (48 + 39 u + 24),
E (55) „en
/ E in ROUE T V 1 t— Es pda es] ESR ASA se RET Au 2 y 39 39 7 m w/4- 31941 u'— 330014 u'+ 1010394 47— 1240029 u +53 1441] (59) ./ —w [6272 u -1084| = (u — 1) [#9 w— 2403 u'+ 8019 u — 6561], . — 10348 — 4076 t np a OU — 6272 . 1.0. 6 DU dac cie) (ie Lee n "o; «odio ORT T N 3
106 E. GouRsaA T.
mn ONES.
ee]
| P*—16
(62) /ouP= um 4/2y-1 Dee eov2y-1)c (3 —92y— 1e i V3y-1
3
7 E E E. 3 ya) (Fa) AT -: oyayi)yitz- V2V/ 3 I , 1 , 1 , 1 | 3o. lo Yo o o 15,5. vå, o VET PES dör I | + 126 © 1041 £4 1704 8— 1041 + 196 £4 1|-4327(1- f (3:9 (2 | . LEE [S Bone ed 604 1,07 TOUR NRI NS e [Nee = À) Le+ + 525 6-D et 0 y- 20; 1 PAA) (63) ef 8 ^o +2 933 TE r , , 1 —192 j(j— 1) t1 — t) (6 +5) -[t m )(t2 y-27j(j -1)é(1 - ===,
[18]. En combinant entre elles les différentes transformations qui vien- nent d’être calculées, on obtient un tres-grand nombre d'autres transformations, soit rationnelles, soit irrationnelles.
Ainsi dans les formules (48), (52), (58), (32), (36), (47) etc. on peut changer £ en (27 — 1)’; dans les formules (54), (41) etc. on peut changer (t - 3y
33(1—1)t(1 — t)
t en et ainsi de suite. Chacune de ces formules conduit à
Recherches sur l'équation de Kummer. 107
des transformations de séries hypergéométriques les unes dans les autres. On peut obtenir ces transformations sans aucun nouveau calcul; considérons l'équation
(30) z (172) 2 ey (pe 2| «By o, où
ne zb 1 LÁ et.)
m 2 mn p 2 p m n
et considérons une identité de la forme (13). Si dans l'équation (30), on fait le changement de variable
la nouvelle équation en t admettra les points singuliers 0, 1, o» avec des exposants de discontinuité faciles à calculer et en outre elle aura aussi comme points critiques les racines de l'équation 74 — 0, ces derniers avec les expo-
. . JE: = - œ sants de discontinuité pe, pe+1. En posant y=#(t—1) E^ v, on sera ra- mené à une équation de méme forme que l'équation (30). Pour prendre un ; > 1 25 7 ; Exemple sol M —9, 4-9, p—2; on aura a= —, B—-—— Wet léqua- 48 48 8 tion correspondante sera
E - or 9n (69) z(-2)72 L7 c 2 2 v
Posons dans cette équation rer [+ 196 #— 1041 + 1764 £— 1041 + 126 £4- |:
x —
d’après la formule (62), la nouvelle équation en £ admettra les points critiques 0, 1, ©, et les racines du dénominateur de l'expression précédente, ces der-
à : ips | DER: niers avec les exposants de discontinuite 94 et E Si done on pose
= 24
y -r« 126 £?— 1041 £'4- 1764 £— 1041 + 126 £ + 1j v,
l'équation en » n'aura plus que les points singuliers 0, 1, oo, et l'on recon-
108 E. GouRsar.
uait aisément que les exposants de discontinuité sont respectivement:
pour x. 0, =
pour 0 1
En ^s I 4’
pour = oo 1?
De
Cette équation sera donc
d^v SIS d 3 70 (1 —é +] = Decus qu Hen di N ER i
en comparant les intégrales des deux équations (69) et (70) qui sont holo- morphes dans le domaine du point £=0, on aboutit à la formule:
TN UU mu EE F|48' 48’ 8 | Wi |
+ 126 &— 1041 £P4- 1764 ?— 1041 + 196 £4- 1
(71)
[tes 126 #— 1041 £-- 1764 P— 1041 £4- 196 £ + Te - 5 )
IV.
[19.] Pour avoir le tableau complet des intégrales de l'équation de Kummer lorsque la somme A4-4-u--v est inférieure à l'unité, il resterait à trouver les formules correspondant aux trois hypothéses suivantes:
m m. D mot NONU ENTE 2 3 dii 2122908 3 0 0 3
SET 9, or 25.200 D ME - » A oM 124 os. n D
On obtient directement les deux premières de ces formules en changeant
ten — Moe) . dans la formule (41) et # en E , dans la for- 34(j—1)t(1— 1) (2 1— 1)
mule (55). La derniere formule se ramènera par une substitution linéaire à
la forme P"— (u + 1) Q'2 A w-- Bu’+ Cu’, P étant du huitième degré et Q
du cinquième. On diminuera de moitié le nombre des coefficients inconnus et
Recherches sur l'équation de Kummer. 109 q
des équations en supposant que les deux équations P — 0, () — 0 sont réci- proques.
Soient y,, y, deux intégrales linéairement distinctes de l'équation (9) et v,, v, deux intégrales linéairement distinctes de l'équation (10); l'intégrale générale de l'équation (11) sera, comme on sait,
a, b, c, d étant des constantes arbitraires. Posons
et soient z = F (u), t= F(w) les fonctions inverses. Dans les cas qui nous occupent, où s'appliquent les formules (41), (55), (60), (62), (63), (68), il ré- sulte de la note déjà citée de Mr. HALPHEN que x et / sont des fonctions uniformes de u et de w, et que ces fonctions sont des fonctions fuchsiennes. L'intégrale générale de l'équation de Kummer sera donc fournie par les for- mules erw), tu e cu+d
F et F, désignant des fonctions fuchsiennes, et les formules en question nous donnent une relation, algébrique entre ces deux fonctions fuchsiennes. On peut du reste reconnaitre, en appliquant la représentation géométrique de Mr. Porx- CARE, que ces fonctions fuchsiennes ont un groupe commun, qui est du genre Zéro.
La formule (59) conduit à une particularité d'un autre genre; dans ce cas, en effet, Z n'est plus une fonction uniforme du rapport 2 des intégrales, mais la formule nous montre que t est racine d'une équation, du dixieme de- gré au plus, dont les coefficients sont des fonctions fuchsiennes de ce rap- port.
[20.] Soit 2+uw+wv—1; léquation du second ordre correspondante pourra étre ramenée à l'une des suivantes
9 æ (o — 1) y^ l: EE 5 (x — 1)| NEN Um — qp: 3
v (c — 1) y"4 E + = (a: j| y ONDE y opes
110 E. Gouksa T. 4 : 1 3 "3 1 2 1 De Las 9 "-. ^, am v(r—1)y- "n e DUE SQUE c.c. mom Eu dont les intégrales générales sont respectivement
y- Cx € (7 : e c (© = 1)
et s'expriment, comme on voit, au moyen des intégrales elliptiques de premiere espèce. Il est aisé de démontrer que le problème proposé n'est dans ce cas quun eas particulier du probleme de la transformation des intégrales elliptiques. On pourrait l'établir en partant des équations hypergéométriques, mais on peut
l
a El Des le voir plus simplement; soit nm 1, et considerons une formule de la
forme (13) répondant à ce cas. On aura
jp* | : j Q" d c Hl pb Ue I — I ue ge NT er
2
ae)
, n
Y, +", s, 8, s" étant des nombres entiers positifs, négatifs ou nuls; par suite, il vient
d x
d £ a" He hm Eder En Tod MG Temp EXT n—1— 0 (t— 1) 8 p n n Se (CK ^ (t — 1) T
am (2 — 1) n vu l 1 m—1 _ n—1 =C RR 2 1 B^? (om (r—1 DE t (t — 1)
et l'intégrale contenue dans le second membre sera forcément de premiere espéce. Sans rien emprunter à cette théorie, je me propose de montrer com- ment on est conduit facilement à une solution générale. Des équations (15) et (16) on déduit en éliminant m’ et »'
Recherches sur l'équation de Kummer. 111
Near 3 epy (1 : UN E i Ur Nn m n \ m mn p relation qui devient, dans le cas actuel, T: , " (72) SEN EINE
m ET
Considérons le cas où m=n=p=3; nous retrouvons la relation déjà obtenue .N 4- N'--N^ —3. On a vu plus haut que tous les systèmes de so- lutions étaient compris dans les deux suivants
m-m-y--q. NN DANS; mm pP, N-N Ne L'identité (13) aura l'une des deux formes suivantes (3) (P a) (0,43) (6 1) (Y (74) (P, t(Q,)'=(e—1)(B),
P, Q, R étant des polynómes d'un degré marqué par leur indice.